2022年-年全国高考立体几何真题及答案详解.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -近三年立体几何高考真题几详解1、（ 2022 年 1 卷 6 题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “ 今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺； 问: 积及为米几何 .” 其意思为 : “ 在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一） ,米堆为一个圆锥的四分之一） ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少 .” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有（ ）（A）14 斛 （B） 22 斛 （C）36 斛 （D）66 斛【答案】 B【解析】设圆锥底面半径为〕2r ,就1 423 r8=r16,所以米堆3的 体 积 为113 〔165=320 9, 故 堆 放 的 米 约 为320 9433÷ 1.62 ≈22,应选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式2、（2022 年 1 卷 11 题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体,）该几何体三视图中的正视图和俯视图如下列图. 如该几何体的表面积为16 + 20,就 r=（（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】 B【解析】 由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,2 r圆柱的半径与球的半径都为 r ,圆柱的高为2r ,其表面积为14r2r2rr22r =5r24r2=16 2+ 20,解得 r=2 ,应选 B.考点：简洁几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式3、（ 2022 年 1 卷 18 题） 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120° ,E,F 是平面 ABCD同一侧的两点, BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线 CF所成角的余弦值.【解析】试题分析：（Ⅰ）连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD中,不妨设 GB=1易证 EG⊥AC,通过运算可证 EG⊥FG,依据线面垂直判定定理可知 EG⊥平面 AFC,由面面垂uuur uuur直判定定理知平面 AFC⊥平面 AEC；（Ⅱ）以 G为坐标原点,分别以 GB GC 的方向为 x 轴,uuury 轴正方向, | GB | 为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz ,利用向量法可求出异面直线AE与 CF所成角的余弦值 .试题解析：（Ⅰ）连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD中,不妨设 GB=1,由∠ABC=120° ,可得 AG=GC= 3 .由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC可知, AE=EC,又∵ AE⊥EC,∴ EG= 3 ,EG⊥AC,在 Rt△ EBG中,可得 BE= 2 ,故 DF=2.2可得 EF=3 2 2,2在 Rt△ FDG中,可得 FG=6.2在直角梯形BDFE中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=2∴EG2FG2EF2,∴ EG⊥FG,∵AC∩FG=G,∴ EG⊥平面 AFC,∵EG 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. （Ⅱ）如图,以G为坐标原点,分别以uuur uuur GB GC的方向为 x 轴,y 轴正方向, |uuur GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz ,由（Ⅰ）可得A（0,－3 ,0）,E（1,0, 2 ）,F（－1,0 ,2）,C（0,uuur 3 , 0）,∴ AE=（1,3 , uuur 2 ）, CF =（-1 ,-3 ,2）. ⋯ 1022分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故cosuuur uuur AE CF|uuur uuurAE CFuuur uuurAE || CF|3.3所以直线 AE与 CF所成的角的余弦值为3. 3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的运算；空间想象才能,推理论证才能4、（ 2022 年 2 卷 6 题） 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,就截去部分体积与剩余部分体积的比值为（．1）A．1 B 8．1 C 7．1 D 65【解析】由三视图得, 在正方体ABCDA B C D 中,截去四周体AA B D ,如下列图,,设正方体棱长为a ,就VAA B D 1 1 111a31 3 a ,故剩余几何体体积为a31a35 3 a ,32666所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1 ,应选 D．5COD 1C1A1DB 1C考点：三视图．ABAB5、（ 2022 年 2 卷 9 题） 已知 A,B 是球 O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,如三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,就球 O的表面积为（）OABC 的体积最A．36π B．64π C．144π D．256π【解析】如下列图,当点C 位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥大,设球 O 的半径为 R ,此时V OABCV CAOB11R2R1 3 R36,故R6,就326球 O的表面积为S4R2144,应选 C．考点：外接球表面积和椎体的体积．6、（ 2022 年 2 卷 19 题）（此题满分12 分）如图,长方体ABCDA B C D 中,AB =16, 第 3 页,共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -BC=10,AA 18,点 E , F 分别在A B ,C D 上,A ED F4．过点 E , F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．D F CA EBD CA B（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；（Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形 EHGF 如图：（Ⅱ）作 EM AB ,垂足为 M ,就 AM A E 4 ,EM AA 1 8,由于 EHGF 为正方形,所以 EH EF BC 10．于是 MH EH 2EM 26,所以 AH 10．以 Duuur为坐标原点, DA 的方向为 x 轴的正方向,建立如下列图的空间直角坐标系 D xyz ,就uuur uuurA 〔10,0,0〕 ,H 〔10,10,0〕 ,E 〔10, 4,8〕,F 〔0,4,8〕 ,FE 〔10,0,0〕 ,HE 〔0, 6,8〕 ．设r uuurr n FE 0, 10 x 0,n 〔 , , 〕 是 平 面 EHGF 的 法 向 量 , 就 r uuur 即 所 以 可 取n HE 0, 6 y 8 z 0,r uuurn r〔0, 4,3〕 ．又 uuurAF 〔 10,4,8〕,故 cos n AF r uuurr n AFuuur 4 5．所以直线 AF 与n AF 15平面 所成角的正弦值为 4 5 ．15考点： 1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．7、（ 2022 年 1 卷 6 题） 如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .如该几何体的体积是28 3,就它的表面积是 第 4 页,共 20 页 （A）17（B） 18（C） 20（ D） 28细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】试题分析：该几何体直观图如下列图：774R3128,解得 R2 ,所以它是一个球被切掉左上角的1,设球的半径为R ,就V8833的表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和S =4 2 2 +3 2 2 =17应选 A．884考点：三视图及球的表面积与体积8、（ 2022 年 1 卷 11 题） 平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, // 平面 CB1D1, I 平面ABCD=m, I 平面 AB B1A1=n,就 m、n 所成角的正弦值为〔A〕 3〔B〕 2〔C〕 3 〔D〕12 2 3 3试题分析：如图 ,设平面 CB D I 平面 ABCD = m ,平面 CB D I 平面 ABB A = n ,由于/ / 平面 CB D ,所以 1 1 m / / m n / / ' n ,就 m n 所成的角等于 m n 所成的角 .延长 AD ,过 D 1作 D E / / B C ,连接 CE B D ,就 CE。