高等数学北大第二版65复合函数与隐函数的微分法.ppt

1. 复合函数的微分法复合函数的微分法设函数设函数 ，，于是于是是是 和和 复合而成的复合而成的复合复合函数函数，其中，其中u和和v为中间变量为中间变量6-5 复合函数与隐函数的微分法复合函数与隐函数的微分法而而u， 又都是又都是 的函数的函数 定理定理1 1：：设函数设函数 在点在点 处有偏导数，处有偏导数， 在相应的点在相应的点(u,v)处有连续的偏处有连续的偏导数，则复合函数导数，则复合函数 在点在点 处有偏导数，其满足：处有偏导数，其满足：链式法则如图示复合函数的求导法则又形象地称为复合函数的求导法则又形象地称为锁链法则锁链法则或或链规则链规则证证.上述关系对一切可能的增量 均成立，特别地对于由 引起的偏增量也是成立的.另一方面，由(6.4)式得因此类似地链式法则如图示例例1 设设解解 例例2 设解解 例例3 设有连续的一阶偏导数,且并证明关系式解解则则称之为称之为全导数全导数。

1）） 中间变量是一元函数链规则也适用于下列情形链规则也适用于下列情形:（2） 中间变量是三个则则(3) 既有中间变量又有自变量则有注意注意: 这里与不同,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 u 对 x 求导例例4 设 求全导数解解例例5 设 f 具有一阶连续偏导数,而解解为简便起见 , 引入记号例例6 设 f 具有二阶连续偏导数,求解解 令则例例6解解设函数均可微, 求g g 例例解解设函数均可微, 求g g 例例解解2. 一阶全微分形式的不变性一阶全微分形式的不变性定理定理2 设函数设函数都有连续的偏导数都有连续的偏导数, 则复合函数则复合函数在点在点 处的全微分仍可表处的全微分仍可表示为示为证证 由此可见，无论由此可见，无论z是自变量是自变量u,v的函数或中间变量的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全全微分形式不变性微分形式不变性.由一阶全微分形式的不变性由一阶全微分形式的不变性, 有有例例 6解解3. 高阶微分高阶微分如果混合偏导数连续如果混合偏导数连续, 则则 , 于是有于是有:即即当当 时时, 在区域在区域 内的内的 次微分次微分按牛顿二项式展开得按牛顿二项式展开得习题习题 6-5 1.(1) (3) (5); 2. 4.6.7.8.算子算子。