2024—2025学年广东省广州市荔湾区高三上学期调研测试数学试卷.doc

2024—2025学年广东省广州市荔湾区高三上学期调研测试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知全集 ， 则 （ ） A． B． C． D． (★★) 2. 已知复数 （其中 为虚数单位）， 则 （ ） A． B． C． D． (★★) 3. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题： “今有竹七节， 下两节容米四升， 上两节容米二升， 各节欲均容， 问逐节各容几升？”其大意为： 现有一根七节的竹子， 最下面两节可装米四升， 最上面两节可装米二升， 如果竹子装米量逐节等量减少， 问竹子各节各装米多少升？以此计算， 这根竹子的装米量为（ ） A． 升B． 升C． 升D． 升 (★★) 4. 已知 ， 则 （ ） A． B． C． D． (★★★) 5. 已知函数 和 是 相邻的两个零点， 则（ ） A． B． 在区间上单调递减C． D． 直线是曲线的切线 (★★★) 6. 已知椭圆 与抛物线 ， 椭圆 与抛物线 交点的连线经过椭圆 的右焦点， 抛物线 的准线经过椭圆 的左焦点， 则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． (★★★★) 7. 已知函数 ， 数列 满足 ， 且数列 是单调递增数列， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． (★★★★) 8. 已知函数 ， 若 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题(★★) 9. 对某地区数学考试成绩的数据分析， 男生成绩 服从正态分布 ， 女生成绩 服从正态分布 ． 则（ ） A． B． C． D． (★★) 10. 设函数 ， 则（ ） A． 是的极小值点B． 当时， C． 当时， D． 当时， (★★★★) 11. 在圆锥 中， 母线 ， 底面圆的半径为 r， 圆锥 的侧面积为 ， 则（ ） A． 当时， 圆锥内接圆柱体的体积最大值为B． 当时， 过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为C． 当时， 圆锥能在棱长为4的正四面体内任意转动D． 当时， 棱长为1的正四面体能在圆锥内任意转动 三、填空题(★★) 12. 若 是夹角为 的两个单位向量， 则 ____________ ． (★★★) 13. 在一次活动上， 四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中， 随后每人随机从中抽取一张， 则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为 ____________ ． (★★★★) 14. 如图， 某数阵满足： 各项均为正数， 每一行从左到右成等差数列， 每一列从上到下成公比相同的等比数列， ， 则 ____________ ， ____________ ． … … … … … … … … 四、解答题(★★) 15. 已知 a， b， c分别为 三个内角 A， B， C的对边， 且 ． (1)求 A； (2)若 的面积为 ， 求 的周长. (★★★) 16. 如图， 四棱锥 中， 底面 是平行四边形， 是正三角形， ． (1)证明： 平面 平面 ; (2)求二面角 的余弦值． (★★★) 17. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查， 随机调查了 名高中学生户外运动的时间（单位： 小时）， 得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求 的值， 估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这 名高中学生户外运动的时间分配， 在 ， 两组内的学生中， 采用分层抽样的方法抽取了 人， 现从这 人中随机抽取 人进行访谈， 记在 内的人数为 ， 求 的分布列和期望； (3)以频率估计概率， 从该地区的高中学生中随机抽取 名学生， 用“ ”表示这 名学生中恰有 名学生户外运动时间在 内的概率， 当 最大时， 求 的值. (★★★★) 18. 已知函数 ． (1)若 ， 求实数 a的取值范围； (2)若 ， 求 的最大值． (★★★★★) 19. 已知双曲线 的虚轴长为 ， 离心率为 ． (1)求双曲线 E的标准方程； (2)为了求二元二次方程 的正整数解 ， 可先找到初始解 ， 其中 为所有解 中的最小值， 因为 ， 可得 ;因为 ， 可得 ;重复上述过程， 因为 与 的展开式中， 不含 的部分相等， 含 的部分互为相反数， 故可设 ， 故得 ． 若方程 E的正整数解为 ， 且初始解为 ． （i）证明： ； （ii） 的面积是否为定值？若是， 求出该定值， 若不是， 说明理由． 。