(完整版)中考圆专题讲练5圆与相似(一)——求线段的长度.doc

专题讲练5 圆与相似（一）——求线段的长度【例1】如图，已知AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC．AB交于D．E两点，过D 点作DF⊥AC，垂足为F1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，①求BD的长；②求AC的长 证：（1）证∠OBD＝∠ODB＝∠ACB，OD//AC，∠ODF＝，∴DF与⊙O相切2）①；②；证四边形ODFG为正方形，，证ΔCDF∽ΔBED，，∴证ΔOBD∽ΔABC，∴例2】已知: 如图, 在△ABC中, AB＝AC, AE是角平分线, BM平分∠ABC交AE于点M, 经过B．M两点的⊙O交BC于点G, 交AB于点F, FB恰为⊙O的直径. (1) 求证: AE与⊙O相切; (2) 当BC＝4, cos C＝时, 求⊙O的半径.证：（1）连结OM，证 , ∥.易证（2），证, ， 设⊙的半径为r，则1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，D是AC的中点，⊙O经过A．B．D三点，CB的延长线交⊙O于E1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm。

求⊙O的直径证：(1)连ED，证ED垂直平分AC，∴AE=CE(2)证ED2＝AD·DF=2×4=8, ED=，AE=2．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP·AD1）求证：AB=AC（2）如果∠ABC=600，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求线段AD的长 证：(1)ΔABP∽ΔADB，∠APB＝∠ABC＝∠ACB，ΔABC为等腰Δ2)ΔABC为等边Δ，∠APB＝60°，∠ABP＝∠CBP＝30°，∠BAP＝，故BP为⊙O的直径，BP＝2，PA＝1，AB＝，AD＝3．如图，直线MN交⊙O于A．B两点，AC是直径AD平分∠CAM，交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E点1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径 证：（1）连OD．DC，证∠DAE＝∠OAD＝∠ODA，OD//AE；（2）；易求，证ΔADE∽ΔACD，，∴AC＝15，K4．如图，已知⊙O的直径AB=4过B点作⊙O的切线MN，D．C是⊙O上的两点，连接AD．BD．CD和BC1）求证：∠CBN=∠CDB；（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=150，求DC的长。

证：（1）连AC，∠CDB＝∠CAB，∠CAB+∠CBA＝，∠CBN+∠CBA＝，　∴（2）作CK⊥AD于K，证＝∠CAB＝∠CBA，∠CAD＝，，，证CK＝DK，,∴5．如图，AB为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点T，过A点作AC⊥PQ于C点，交⊙O于D点1）求证：AT平分∠BAC（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径证：（1）连OT，OT//AC，∠OAT＝∠OTA＝∠TAC（2）连BD，BD//TC，OT⊥BD，BD＝2CT＝，AB＝，R＝26．如图，AB．BC．CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，连接OB．OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N点1）求证：MN是⊙O的切线2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长 证：（1）证∠ABC+∠BCD＝，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO∠CBO+∠BCO＝＝∠BOM＝∠CMN（2）连OF，，证ΔCOB∽ΔCMN，即7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE=CF1）求证：DE是⊙O的切线。

2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长 证：（1）连OC，∴∥，∴（2），，证ΔAEC∽ΔACB，,∴ 8．如图，AB．AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F点P为ED延长线上一点，连PC1）若PC与⊙O相切，判断△PCF的形状，并证明2）若D为弧AC的中点，且，DH=8，求⊙O的半径证：（1）连OC，∠OCA＝∠OAC，∠OCA+∠PCF＝，∠PFC+∠OAC＝，∠PCF＝∠PFC，（2）设，则，证，则，9．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，CD=BD过D点作DE⊥AC，垂足为E点，延长DE交BA的延长线于 P点1）求证：DE为⊙O的切线2）若AB=6，AD=，求PE的长 证：（1） 证，∠ODE＝∠DEC＝（2）证ΔAED∽ΔADB，，ΔPEA∽ΔPDO，10．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A．B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts1）求PQ的长2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？ 证：（1）PQ＝8cm（2）或，分两种情况：①直线AB与⊙O第一次相切时，设切点为F，则PA＝5t,PB＝4t，，又∠P公共，∴ΔPAB∽ΔPOQ，，易证四边形OFBQ为正方形，QB＝8－4t＝OQ＝6，②直线AB与⊙O第二次相切时，同理可得，QB＝4t-8=OQ=6，11．如图在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过D点作DE⊥DB交AB于点E。

1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值 证： (1)证∠DBC=∠DBO=∠ODB,OD//BC, ∴∠ODA＝∠C＝90°2)9；证∠EFB＝90°＝∠C，EF//AC，ΔBEF∽ΔBAC，易求AB=15，设EF＝4x，BF＝3x,则EB＝5x，OD＝证ΔOAD∽ΔBAC，，∴，EF＝4x＝912．如图，BC为⊙O的直径，点F在⊙O上，∠FCA=∠FOC，CD=AD，AB交⊙O点E.（1）求证：CA为⊙O的切线；（2）若EF=1.5，CF=2，BE=4，求⊙O的半径.证：(1) 略 (2) 连CE, ∵△BCF∽△BCD, ∴①证，△BEF∽△BAD, ∴②又AD=CD, 由①、②可得, ∴BC=, ∴R=.。