数列极限存在的条PPT课件.ppt

第二章第二章 数列极限数列极限三 数列极限存在的条件 在研究比较复杂的数列极限问题时在研究比较复杂的数列极限问题时, ,通常先考察该通常先考察该数列是否有极限数列是否有极限( (极限的存在性问题极限的存在性问题););若有极限若有极限, ,再考再考虑如何计算此极限虑如何计算此极限( (极限值的计算问题极限值的计算问题).).这是极限理论这是极限理论的两个基本问题的两个基本问题. .在实际应用中在实际应用中, ,解决了数列解决了数列{an}存在存在性问题之后性问题之后, ,即使极限值的计算较为复杂即使极限值的计算较为复杂, ,但由于当但由于当n充充分大时分大时, ,an能充分接近其极限能充分接近其极限a, ,故可用故可用an作为作为a的近似值的近似值. .本节将重点讨论极限的存在性问题本节将重点讨论极限的存在性问题. . 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断本身的特征来作出判断数列极限存在的条件注: 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 v定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？Mv定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 •定理1的几何解释x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生 数列极限存在的条件数列极限存在的条件v定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 证明 { }.,,, 0NnNaaaa，<-$>"ee使得按上确界定义事实上例例3 3证证(舍去舍去).)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn+ ++ ++ += =L例5 证明 nnn)11 (lim¥® 存在。

先看一下数列的变化的图像, 该数列单调有界(小于所以极限存在，且由图象看出：随着n 的增大, nnna)11 (= 逐渐接近一个…718.2的无理数e.3）0510152025303540455022.12.22.32.42.52.62.72.8证证 先先证证明：明： 对对 ba< << <" "0和正整数和正整数n，有不等式，有不等式 .) 1(11nnnbnabab+ +< <- -- -+ ++ +事事 实实上，上，- -+ ++ ++ ++ +- -= =- -- -- -- -+ ++ +aba )baabbabababnnnnnn1111)((LL nnnnabaabb+ ++ ++ ++ += =- -- -11LL < .) 1(nbn+ +该该 不等式又可不等式又可变变形形为为 ( ( nba,0< << <为为 正整数正整数 ) ) 在此不等式中在此不等式中, , 取取则则 有有 ,0ba< << < 就有就有 取取 又有又有 例5 任何数列都存在单调子列 定理（致密性定理）任何有界数列必有收敛的子列证明 设数列 有界， 由例5可知： 存在单调且有界的子列 再由单调有界定理，证得此子列是收敛的。

数列极限存在的条件v定理2(柯西收敛准则) •定理2的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.{ } . , , 0 , 0 : e e < - > > $ > " m n n a a N m n N a 时有 当 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 数列数列 x1 x2 x3 x4 x5  Cauchy收收敛敛准准则则：： Th 2Th 2 .10.10 数列数列{}na收收敛敛，，. , , , , 0 e ee e< <- -ÞÞ> >" "$ $> >" "ÛÛnmaaNnmN ( ( 或数列或数列{}na收收敛敛，， . ,p , , , 0 e ee e< <- -ÞÞÎ Î" "> >" "$ $> >" "ÛÛ+ +npnaaNnNN ) ) 说明说明:(1)ＣＣauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。

2) ＣＣauchy收敛准则的条件称为收敛准则的条件称为ＣＣauchy条件，它反映这样的事实：条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数或者任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤挤”在一起3)ＣＣauchy准则把准则把 定定义中中与与a的之差的之差换成成与与之差 其好处在于无需借助数列以外的数其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性就可以鉴别其（收）敛（发）散性证证 例例4 4 证证明明：：任一无限十任一无限十进进小数小数 ) 10( . 021< << <= =a aa a……nbbb的不足近似的不足近似值值所所组组成的数列成的数列 ,101010 , ,1010 ,102212211………nnbbbbbb+ ++ ++ ++ + 收收敛敛. . 其中其中) 9 ,, 2 , 1 (…= =ibi是是 9 ,, 1 , 0… 中的数中的数 . . 证法一 （ Riemann最先 给出这一证法 ） 设 .11nnnxøöçèæ=应用二 项式展 开，得 =nnxn11---…321! 3) 2)(1(1! 2) 1(nnnnnnnnnnnn1!1·2·3) 1( -… øöçèæ--øöçèæ-øöçèæ-øöçèæ-øöçèæ-øöçèæ-=nnnnnnnn112111!12111! 3111! 2111……， ! 21111=nx…øöçèæ-øöçèæ-øöçèæ-121111! 31111nnn+ + )!1(1n;11111øöçèæ-øöçèæ-nnn… 注意到 ,11111øöçèæ-<øöçèæ-nn ,12121øöçèæ-<øöçèæ-nn 数列ïþïýüïîïíìøöçèænn11单调有界证法欣赏: Cauchy (1789 —1857 ) 最先给出这一极限， Riemann （1826—1866）最先给出v 小结 (1), 单调有界定理; (2), 单调有界定理的几何意义; (3), 柯西收敛准则; v 作业 P39: 1(1)(3)(5), 5(1)(2). (4), 柯西收敛准则的几何解释. 。