数学试卷+答案【四川卷】【高一下期末考】四川省甘孜州2024-2025学年高一下期全州统一调研考试（7.7-7.9左右）.docx

四川省甘孜藏族自治州2024-2025学年高一下学期7月全州统一调研考试数学试题一、单选题1．（    ）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则（    ）A．2 B． C． D．3．某学校高一､高二､高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（    ）A．7 B．10 C．15 D．204．已知圆台上下底面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（    ）A． B． C． D．5．已知事件，互斥，，且，则（   ）A． B． C． D．6．在中，，，，则（    ）A． B．C． D．7．一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ）A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”8．如图，四面体中，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ）A． B． C． D．或二、多选题9．在中，为边的中点，则（    ）A． B． C． D．10．已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ）A．若复数，则B．若，则或C．若复数是纯虚数，则实数或－4D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则11．已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是（   ）A． B． C． D．三、填空题12．某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，，则这组数据的第百分位数是 （米）13．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据：月份789101112销售量111214151820根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数）（参考公式：相关系数，参考数据：，）14．如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .四、解答题15．如图，在平行四边形中，是的中点，且在直线上，且，记，，若.（1）求的值；（2）若，，且，求.16．如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．  (1)在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；  (2)若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．17．近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.  (1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.18．已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．(1)证明：；(2)当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．19．当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.(1)若，，.①求；②设的周长为，求的值；(2)若，，求实数的最小值.题号12345678910答案ABCCBACDABAD题号11 答案ABC 1．A根据复数的四则法则计算即可.【详解】.故选：A.2．B根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，，由，得，所以.故选：B3．C根据分层抽样的特点即可得到答案.【详解】根据分层抽样的特点知高一年级抽取学生人数为.故选：C.4．C根据圆台的体积公式代入求解即可.【详解】因为圆台的上､下底面积分别为，所以该圆台的上､下底面的半径分别1，2，如图所示：即，，，所以，所以，故圆台的高为2，则圆台的体积，故选：.5．B利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解.【详解】由事件，互斥，，得，而，联立解得，故.故选：B6．A由条件结合正弦定理列方程求，又，可得，由此可求.【详解】由正弦定理可得，又，，，所以，所以，又，所以，所以，故选：A.7．C由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案.【详解】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误；B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确；D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.故选：C.8．D利用异面直线的夹角定义和余弦定理求解.【详解】取的中点为，连接，在中，，且，在中，，且，因为异面直线与所成角的大小为，所以直线的夹角为，则或，所以在中，当时，由余弦定理得，，得，当时，由余弦定理得，，得，故选：D9．AB根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解.【详解】在中，，A选项正确；，B选项正确；在中，为边的中点，则，C选项错误；，所以D选项错误；故选：AB.10．AD根据复数的模长公式求解，进而即可判断选项A；由复数模长的几何意义即可判断选项B；根据纯虚数的意义求解，进而即可判断选项C；根据矩形的性质及向量加法和减法的几何意义即可判断D．【详解】对于选项A，若，则，故选项A正确；对于选项B，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，即有无数个点与复数对应，故选项B错误；对于选项C，若是纯虚数，则，解得，故选项C错误；对于选项D，若，则复平面内以，为邻边的平行四边形是矩形，由矩形的对角线相等，则，即，故选项D正确．故选：AD．11．ABC斜边长为，斜边上的高为，对轴分三种情况，结合圆锥的体积公式即可求解.【详解】由题意斜边长为，若以直角边为轴，则所求为，若以直角边为轴，则所求为，若以斜边为轴，则斜边上的高为，所求为.故选：ABC.12．首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，因为，故第百分位数为第个数.故答案为：13．根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案.【详解】由已知可得，，，则，，所以，.故答案为：.14．先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值.【详解】因为点在上，所以，因为是的中点，所以，又因为，（，），所以，所以，，计算可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：15．（1）2；（2）.（1）先求出，再求出，比较系数即得解；（2）由余弦定理求出，再根据即得解.【详解】（1）∵是的中点，∴，∵，∴.由可知.又∵，∴.（2）∵，及可知.，在中，由，，及余弦定理可知得，解得.∴.∴.16．(1)图形见详解(2)【详解】（1）因为与轴重合，则与轴重合，且；与轴平行，则与轴平行，且；与轴重合，则与轴重合，且；连接，即可得四边形.  （2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，故体积为.  17．(1)，中位数为74，平均数为72.5(2)方案一受到奖励的商家更多，理由见解析（1）由频率分布直方图中各组频率之和等于1，列出方程求出，利用中位数定义和平均数公式分别计算即得；（2）按照方案一要求，利用频率分布直方图先求出平均日利润超过78百元的商家所占的比率，再求对应的商家数目；方案二只需取前，即前200个商家家，比较即得结论.【详解】（1）由题意可知，解得.设中位数为，则，解得，所以中位数为74，平均数为（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，方案二受到奖励的商家的个数为，因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.18．(1)证明见解析(2)（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质、线面平行的性质，结合菱形的性质推理得证.（2）证得平面，建立空间直角坐标系，结合已知的线面角表示相关点的坐标，再利用面面角的向量法求解.【详解】（1）在四棱锥中，连接交于，由菱形，得，且为、的中点，由，得，而，面，则面，又面，于是，又平面，平面平面，面，则，所以.（2）由（1）得，，由，为中点，得，又，平面，则平面，于是与平面所成的角为，，，,以为原点，建立如图的空间直角坐标系，记，，则，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，，由图知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为.19．(1)①；②(2)【详解】（1）①，则②设而，在中，由余弦定理得:同理有则在中由余弦定理知: 即又则又等面积法知：则，，故（2）因为所以所以所以所以为直角三角形，点为的费马点，则，设，，，，则由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，当且仅当，结合，解得时，等号成立，又，即有，解得或（舍去），故实数的最小值为．。