试析向量数量积的多角度应用.docx

试析向量数量积的多角度应用摘要：随着我国教育教学改革的深入，中学引入向量成为数学改革的一大特征向量具有双重性，可表示为几何与代数两种形式，中学相关数学知识在此处交汇，势必深刻影响其他数学分支通过向量数量的应用不仅可以处理长度与角度计算问题，也可以就位置关系处理相关问题所以向量数量积被广泛应用于数学各项分支中关键词：向量;数量积;多角度;应用一、平面几何中向量数量积的应用平面几何主要涉及长度、位置关系以及角度等问题，利用向量数量积这一工具可巧妙解决这些问题在题目解答过程中，如果可以充分发挥向量数量积数形结合的优势，必定在很大程度上简化运算，使证明推导更加容易例1】在三角形ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，如果ab=bc=ca，证明三角形ABC为正三角形证明：∵BC=a，CA=b，AB=c，∴ab=|a||b|cos〔π-C〕=-|a||b|cosC，bc=|b||c|cos〔π-A〕=-|b||c|cosA，ca=|c||a|cos〔π-B〕=-|c||a|cosB，∴|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB，|a||b|cosC=|b||c|cosA，|a|cosC=|c|cosA。

由余弦定理可得|a|=|c|，同理|b|=|c|，所以三角形ABC为正三角形二、立体几何中向量数量积的应用在解决立体几何题目时应用向量数量积可实现空间结构系统代数化，使题目更为直观地呈现在学生面前例2】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面为菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60〔1〕证明：C1C⊥BD〔2〕当CD/CC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明证明：〔1〕∵CC1DB=CC1〔CB-CD〕=CC1CB-CC1CD=|CC1||CB|cos60-|CC1||CD|cos60，又∵|CD|=|CB|，∴CC1DB=0，∴CC1⊥DB〔2〕从〔1〕可知BD⊥平面CA1，∴BD⊥CA1，所以问题等价于证明：CA1⊥C1D时，A1C⊥平面C1BD设CD/CC1=λ时，A1C⊥平面C1BD，令|CC1|=t，那么|CD|=λt∵C1D=CD-CC1，CA1=CD+CB+CC1，∴C1DCA1=〔CD-CC1〕〔CD+CB+CC1〕=CD2+CDCD+CDCC1-CC1CD-CC1CB-CC21=λ2t2+1/2λ2t2-1/2λt2-t2=t2〔3/2λ2-1/2λ-1〕t2=0，∴λ=1或λ=-2/3〔舍〕，∴当CD/CC1=1时，可使A1C⊥C1BD。

三、解析几何中向量数量积的应用【例3】设直线l：y=x+b与椭圆C：x2/a2+y2/a2-1=1〔a>1〕相交于A、B两点，假设l过椭圆的右焦点，且以AB为直径的圆过椭圆C的左焦点，求该椭圆C的方程解：由题意可得椭圆C的左焦点为F1〔-1，0〕，右焦点为F2〔1，0〕，且F1A⊥F1B，∵由l过F2，得b=-1，∴l的方程为y=x-1，代入椭圆C的方程，得〔2a2-1〕x2-2a2x+2a2-a4=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么F1AF1B=0，∴〔x1+1〕〔x2+1〕+y1y2=0，即〔x1+1〕〔x2+1〕+〔x1-1〕〔x2-1〕=0，∴x1x2+1=0∴2a2-a4/2a2-1+1=0，解得a2=23∵a>1，∴a2=2+3∴椭圆C的方程为x2/2+3+y2/1+3=1在处理解析几何问题时，假设遇到以二次曲线的弦AB为直径的圆经过点M这类题目，都能通过“平面几何中直径所对的圆周角为直角〞得到∠AMB=90，也就是MA⊥MB，由此转换成“向量的数量积为零〞四、三角形中向量数量积的应用诸如两角差的余弦定理等三角公式，在证明时假设应用传统代数法，通常十分烦琐，而向量数量积那么能够弥补这一缺陷，简单快速的完成证明过程，并且对于利用向量数量积解决其他三角形题目同样能简化运算，在理解时也相对容易。

例4】cosθ+sinφ=-1，sinθ+cosφ=1，求sin〔θ+φ〕的值解：設m=〔cosθ，sinθ〕，n=〔sinφ，cosφ〕，那么m2=|m|2=1，n2=|n|2=1，mn=cosθsinφ+sinθcosφ=sin〔θ+φ〕∵〔m+n〕2=m2+n2+2mn=2+2sin〔θ+φ〕，又∵〔m+n〕2=〔cosθ+sinφ，sinθ+cosφ〕2=〔-1，1〕2=2，∴2=2+2sin〔θ+φ〕，∴sin〔θ+φ〕=0五、结束语在平面几何、解析几何、立体几何以及三角中，假设是均可实现向量数量积的合理有效应用，必定建立起各课程间的内在联系，刺激并恢复学生原本在脑海中建立的认知结构，加深学生认知，提高学习灵活性，并且有利于学生视野的开阔，调动其学习积极性和主动性，促进其创新开展参考文献：【1】王伯根.利用平面向量数量积的几何意义巧解一类问题[J].数学之友，2021〔5〕：69-70+72.【2】卓晓萍.平面向量数量积的运算策略[J].数学学习与研究，2021〔19〕：125.【3】李鑫.“平面向量数量积〞的解题教学研究[J].数学教学通讯，2021〔30〕：18-19.【4】吴洪生.以问题驱动探究，促学生能力提升——以“平面向量的数量积〞复习教学为例[J].中学数学月刊，2021〔8〕：4-8.谈海涛，江苏省常州市，江苏省横林高级中学。