2025年中考数学总复习《相似三角形的判定与性质综合》专项测试卷（带答案）.docx

2025年中考数学总复习《相似三角形的判定与性质综合》专项测试卷（带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为点，连接．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的长．2．如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，连结，作圆心O关于的对称点，射线交半圆O于点D，连结，与交于点E．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求的值；(3)当，时，求的面积．3．如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，．(1)求的长；(2)求的值．4．如图，在中，是边上的一点，是边上的一点，连接，，，．(1)如图1，若，与交于点，，平分．①求证：．②若是的中点，求证：．(2)如图2，若四边形是菱形，平分，，交于点，，，求的值．5．在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为．(1)直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；(2)在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；(3)若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______．6．如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为．(1)若圆心段上，求的度数；(2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线；(3)若圆心不段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长．7．【问题背景】（1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：．【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：．【拓展探究】（3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：．8．如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连接与的延长线交于点．(1)求证：平分．(2)①比较大小：_________（填“＞，=，＜”）．②若的半径为，则的长为____________．(3)若，，则的长为____________．9．如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，．(1)求证：．(2)如图2，若点为的中点，求证：．(3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长．10．如图，的三边长分别为，，， 的三边长分别为，，，，相似比为（为常数且，）．(1)若，用k表示a和c的数量关系．(2)在（1）的条件下，请写出符合条件的一对和，使得a，b，c和，，都是正整数．(3)若，，是否存在和相似使得k是正整数？请说明理由．11．如图，在平行四边形 中，对角线、 交于点、 为 中点，连接 交 于点，且(1)求的长；(2)若的面积为，求四边形的面积．12．如图，是的直径，C、D在上，且点A是的中点，连接交于点E，延长和相交于点P，过点A作交于点G．(1)若，求的度数；(2)求证：直线是的切线；(3)过点P作的切线，切点为Q，若，，求m与n之间的关系．13．如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中三点在同一条直线上，点在直线上，，，初始时．(1)直接写出的度数为：___________；(2)如图②，求初始时点到的距离；(3)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（参考数据：）14．已知是等腰直角三角形，，为平面内一点．(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长；(2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：；(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．15．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以1个单位的速度沿射线方向匀速移动，连接相交于点E，过点A作，垂足为点F，设点P的运动时间为．                                             (1)当点F为中点时，________s；(2)当点F落在边上时，求t的值；（写出必要过程）(3)当为等腰三角形时，直接写出t的值．参考答案1．(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．（1）连接，根据等边对等角及切线的判定定理即可得证；（2）证明，依据相似三角形的性质列式计算可得结论．【详解】（1）证明：如图，连接．．．．．．点在上直线是的切线．（2）解：四边形是的内接四边形．．．由（1）知：．又，解得（负值舍去）．2．(1)见解析；(2)；(3)的面积为或．【分析】（1）连接，利用轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和平行四边形的判定定理解答即可；（2）连接，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质求得，代入运算即可得出结论；（3）过点D作于点F，交于点H，设，则，利用勾股定理列出方程求得x值，利用直角三角形的边角关系定理求得，则，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可．【详解】（1）证明：连接，如图∵圆心O与点关于对称∴垂直平分∴∴．∵为直径∴∴∵∴∴∵∴∴平分∴与互相平分∴四边形为平行四边形∴，．∵∴∴四边形为平行四边形；（2）解：连接，如图∵为直径∴∵，∴设，则∴∴由（1）知：，四边形为平行四边形∴，．∴∴∴∴．∴．∴；（3）解：过点D作于点F，交于点H，如图∵，∴，设，则∵，∴∴∴∴∴∴∵∴∴∴∴的面积．当点段的延长线上时延长交于点N，过点C作于点M，连接，如图∵，圆心O关于的对称点∴∴∴．由（1）知：四边形为平行四边形∴，∵∴．∵∴．∵为圆的直径∴∴∵∴∴∴∴的面积．综上，的面积为或．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质，连接直径所对的圆周角，作出垂线段构造直角三角形是解题的关键．3．(1)(2)【分析】（1）先根据三角函数计算出，，从而得到，结合角平分线得到，即可得到答案；（2）根据垂直得到，从而得到，，即可得到答案．【详解】（1）解析：，，，∴∵平分∴；（2）解：为中线为中点，∴∴∴为中点同理可得，∵．【点睛】本题考查解直角三角形及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据题意找到直角三角形，合理的应用三角函数．4．(1)①见解析；②见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）①先由等边对等角得到，再证明，进而可证明，据此证明即可证明；②延长交于H，可证明，得到，再求出，则可证明；（2）先导角证明，得到，则；再证明，得到，则可证明，得到，则；过点A作于M，则 ，；过点E作于N，则四边形是矩形，可得，，求出，则．【详解】（1）证明：①∵∴；∵四边形是平行四边形∴∴∴；∵平分∴又∵∴∴；②如图所示，延长交于H∵四边形是平行四边形∴∴，∵是的中点∴∴∴∵∴；（2）解：∵平分∴∵∴∴∴∵∴；∵四边形是菱形∴，又∵，∴∴∵∴∵∴∵∴∴∴∴，即∴∴；如图所示，过点A作于M，则 ∴；如图所示，过点E作于N∵∴∴四边形是矩形∴∴∴∴．5．(1)；(2)见解析；(3)【分析】根据勾股定理求出，因为点是的中点，可得，当点的运动速度为每秒个单位长度，可得：当时，，当时，；根据分段函数的解析式画出函数图象即可；当直线过点时，可得：，所以直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是．【详解】（1）解：，，点是的中点，点的运动速度为每秒个单位长度当时，；当时，过点作则∴；综上所述，；（2）解：画函数图象，如下图所示当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）解：当直线过点时可得：解得：直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据三角形的面积公式分段求出与的函数关系式．6．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；（2）连接，利用角的等量代换证出即可；（3）分类讨论与各边相切时的情况，利用勾股定理和相似三角形的性质列出等式求解即可．【详解】（1）解：∵是的外接圆，且圆心段上∴是的直径，点在上∴；（2）证明：如图1，连接，则在平行四边形中，∴∵∴∵∴由（1）得，∴∴，则，即∵是的半径∴是的切线；（3）解：如图2，当与相切时，与只有一个交点，即为切点连接并延长与相交于点∴∵∴，则∴在中，由垂径定理得，∴；如图3，当与BC相切时，设切点为，延长交于点过点作于点，于点，连接∴，∵∴∴四边形是矩形，∴∵∴，则设的半径为，则在中，，即解得：∴连接，则∴∵∴∵∴∴，即∴同前可得，∴∵与有两个交点和，与有两个交点和∴与和所在的直线都不相切综上所述，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，线段的长为或．【点睛】本题考查了几何综合，其中涉及到了平行四边形的性质，切线的判定，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质，合理分析题目作出辅助线是解题的关键．7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）先证明，再利用证明即可；（2）先证明，，可得，可得，证明，结合，可得，分别为的中点，再进一步求解即可；（3）如图，延长至，使，证明，可得，，在上取点，且，可得，，证明，可得，再证明，，结合相似三角形的性质可得结论；当段上，如图，同理可得结论.【详解】证明：（1）∵D是的中点∴∵，∴；（2）∵∴，∴∴∴∵∴∴分别为的中点又∵D是的中点∴，∴；（3）如图，延长至，使∵，∴∴，在上取点，且∴，∴∵∴∴∵∴，∴，∴∴.当段上，如图同理可得：.。