知识点一导数与函数的单调性2.docx

1.函数的单调性：在某个区间（ a,b）内，假如f 〔 x〕 0 ，那么函数y f 〔x〕 在这个区间内单调递增；如果 f 〔 x〕 0 ，那么函数y f 〔 x〕在这个区间内单调递减 .假如f 〔x〕 0 ，那么函数y f 〔x〕在这个区间上是常数函数 .注：函数y f 〔x〕 在（ a,b）内单调递增，就f 〔 x〕 0 ， f〔 x〕 0 是y f 〔 x〕 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件 .2. 函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数y f 〔x〕在点 x0 处连续时，判定f 〔x0 〕是极大（小）值的方法是：（ 1）假如在x0 邻近的左侧f 〔x〕 0，右侧f 〔x〕 0 ，那么f 〔 x0 〕 是极大值．（ 2）假如在x0 邻近的左侧f 〔x〕 0，右侧f 〔x〕 0 ，那么f 〔 x0 〕是微小值．注：导数为 0 的点不肯定是极值点学问点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（ a,b）内，假如f 〔 x〕 0 ，那么函数y f 〔x〕在这个区间内单调递增；假如f 〔 x〕 0 ，那么函数y f 〔 x〕 在这个区间内单调递减 .假如f 〔x〕 0 ，那么函数y f 〔 x〕在这个区间上是常数函数 .注：函数y f 〔x〕 在（ a,b）内单调递增，就f 〔 x〕 0 ， f〔 x〕 0 是y f 〔 x〕 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件 .例 1】（ B 类）已知函数f 〔 x〕x3 bx2cx d 的图象过点P〔0, 2〕，且在点M 〔 1,f 〔 1〕〕 处的切线方程为 6 x y 7 0 .（Ⅰ）求函数 yf 〔 x〕 的解析式； （Ⅱ）求函数 yf 〔 x〕 的单调区间 .【解题思路】留意切点既在切线上，又原曲线上 .函数f 〔x〕 在区间 [ a, b]上递增可得：f 〔 x〕 0 ；函数f 〔x〕 在区间 [ a,b] 上递减可得： f 〔x〕 0 .【例 2】（ A 类）如f 〔 x〕ax3x 在区间 [－ 1,1] 上单调递增，求 a 的取值范畴 .【解题思路】利用函数f 〔 x〕 在区间 [ a,b]上递增可得：f 〔 x〕 0 ；函数f 〔 x〕在区间 [ a, b] 上递减可得：f 〔 x〕 0.得出恒成立的条件 ,再利用处理不等式恒成立的方法获解a【例 3】（ B 类）已知函数f 〔 x〕 lnx , g〔 x〕 〔 a x0〕 ,设F 〔x〕f 〔x〕g 〔 x〕 ．（Ⅰ）求函数F 〔 x〕 的单调区间；（Ⅱ）如以函数y F 〔 x〕〔 x〔0,3]〕图像上任意一点P〔 x0 ,y0 〕 为切点的切线的斜率1k 恒成立，2求实数 a 的最小值【课堂练习】1. （ B ） 已 知 函 数f 〔 x〕ax3bx2的 图 像 经 过 点M 〔1,4〕， 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 恰 好 与 直 线x 9 y 0 垂直 .（Ⅰ）求实数a, b 的值；（Ⅱ）如函数f 〔x〕 在区间 [ m,m1] 上单调递增，求 m 的取值范畴 .2．（ B 类）设函数g 〔x〕1 x231 ax 22bx〔a,bR〕 ，在其图象上一点 P（ x， y ）处的切线的斜率记为 f 〔x〕.（ 1）如方程f 〔 x〕0有两个实根分别为2和4, 求f〔 x〕的表达式；（ 2）如g〔 x〕在区间 [1,3]上是单调递减函数2, 求a2b 的最小值3.（ A 类）已知函数性.f 〔 x〕1 x2 m ln x2〔m 1〕x ， m R ．当 m0 时，争论函数f 〔 x〕的单调例一 [解析】（Ⅰ）由f 〔 x〕 的图象经过P 〔0, 2〕 ，知 d 2 ，所以 f 〔 x〕3 2x bxcx 2 .所 以 f2〔x〕 3 x2bx c .由在 M〔 1,f 〔 1〕〕 处的切线方程是 6 x y7 0 ，知 6 f〔 1〕 7 0 ，即f 〔 1〕 1，f ′〔 1〕 6 .3 2b c 6,所以2b c即3, 解得 b c 3 .1 b c2 1.b c 0.故所求的解析式是f 〔 x〕3 2x 3x 3x 2 .（Ⅱ）由于f 〔x〕 3x26x 3 ，令 3 x26 x 3 0 ，即x2 2 x1 0 ，解得 x1 1 2 ， x2 1 2 .当 x 1 2 或 x1 2 时，f 〔x〕 0 ，当 1 2x 1 2 时，f 〔x〕 0 ，故 f 〔 x〕x3 3x23x 2在 〔 ,1 2] 内 是 增 函 数 ， 在 [1 2,1 2] 内 是 减 函 数 ， 在[1 2, 〕 内是增函数 .例二【解析】Q f 〔 x〕 3ax21 又 f〔x〕 在区间 [－ 1,1] 上单调递增f 〔 x〕 3ax21 0 在[ － 1,1]上恒成立 即 a13x2在 x [ － 1,1] 时恒成立 .a 1 故 a 的取值范畴为 [ 31 , ]3例三解析】（ I）F x f x g xln xa x 0， F x1 a x a x 0∵ a 0 ，由 F x 0x a,x，∴ F x 在 a,x x2 x2上单调递增 .由 F x 0 x 0,a ，∴ F x 在 0, a 上单调递减 .∴ F x 的单调递减区间为 0, a ，单调递增区间为 a, .x a x0 a 1 2（ II ） F x2 0 x x3 ， k F x0 2x00 x 3恒成立a x02x0max当 x 1 时，1 x2x 取得最大值 1 .0 0 02 2∴ a 121，∴ amin=21，【解析】（Ⅰ）f 〔 x〕ax3bx2M 〔1,4〕a b 4课堂练习；的图象经过点 ∴∵ f 〔x〕 3ax 22bx ，∴f 〔1〕 3a 2b由已知条件知f 〔1〕 〔1 〕 19即 3a 2b 9a b 4 a 1∴解 得：3a 2b 9 b 3（Ⅱ）由（Ⅰ）知f 〔 x〕3 2fx 3x ，〔x〕 3x2 6 x令 f 〔 x〕 3 x2 6 x0 就 x2或 x 0∵函数f 〔 x〕 在区间 [m, m1] 上单调递增 ∴ [ m, m1] 〔 , 2] U [0, 〕∴ m 0 或 m1 2 即 m0 或 m 32， 解析】（ 1）依据导数的几何意义知f 〔 x〕g 〔 x〕 x 2ax b由已知 -2、4 是方程 x 22 4由韦达定理，2 4ax ba b0 的两个实根a 2 2, f 〔 x〕 xb 82x 8（ 2） g 〔 x〕在区间 [— 1， 3] 上是单调递减函数，所以在 [— 1， 3] 区间上恒有f 〔 x〕g 〔 x〕x2 ax b f 〔 1〕 00,即f〔 x〕ax2 ax b b 10在[1,3]恒成立这只需满意f 〔3〕即可 , 也即0 b 3a 9而a 2b 2可视为平面区域a bb 3a1内的点到原点距离的平 方,9其中点（ — 2， 3）距离原点最近，a所以当b2 2时, a3b 2 有最小值 13m x2 〔 m 1〕x m 〔 x 1〕〔 x m〕3，【解析】∵f 〔 x〕 x〔m 1〕 ，x x x∴（ 1）当 1 m0 时，如 x0, m 时,f 〔 x〕 0,f 〔 x〕为增函数；x m,1 时,f 〔 x〕 0, f〔 x〕 为减函数；x 1,时, f〔 x〕 0,f 〔 x〕 为增函数．（ 2）当 m1时， x0,1 时,f 〔 x〕 0, f〔x〕为增函数；x 1,m 时, f〔x〕 0, f 〔x〕 为减函数；x m,时, f〔 x〕 0, f〔x〕 为增函数学问点二 : 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤 :〔1〕 确定函数的定义域，求导数f 〔 x〕 .〔2〕 求方程f 〔x〕 0 的根 .〔3〕 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成如干小开区间，并列成表格 .检查f 〔x〕在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f 〔 x〕 在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么 f 。