一元二次方程知识梳理---王志远老师.doc

一元二次方程一元二次方程””知识梳理知识梳理 一元次方程是初中数学中的重要内容，学习和应用一元二次方程，不仅综 合运用了以前所学的多方面的知识，同时也为进一步的学习和应用打好了基础， 因此，我们在学习一元二次方程时，一方面要通过一元二次方程的学习，巩固、 加深对以学过的数与式及其解法的认识，同时为今后学习二次函数和高中二次 曲线等数学知识打下良好基础，发挥承前启后的作用 ［知识梳理］［知识梳理］ 一、二次方程的概念及一元二次方程的解法二次方程的概念及一元二次方程的解法 1.一元二次方程的定义一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 [注注]：： （1）整式方程：方程两边都是关于未知数的整式 （2）只含一个未知数 （3）未知数的最高次数是 2 2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般形式是：axbxc20（a≠0，a，b，c 为常数） 其中 a、b、c 分别叫二次项系数、一次项系数、常数项 [注注]：a≠0 3.一元二次方程的解一元二次方程的解 如果一个数能使一元二次方程左右两边的值相等，那么这个数就是一元二次方 程的解。

4.解一元一次方程的步骤：解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤解方程 ax=b（a≠0） ；5.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法：直接开方法；配方法；因式分解法；公式法求根公式 ：x=（b2-4ac≥0） ；aacbb 242（（1）直接开平方法）直接开平方法形如axb ab20()①，或()()mxna ma200≠ ，②，方程可以利用平方根的定义，用直接开平方法解得其根其中①的解是xb a ± ，②的解是xna m ± ［注意］［注意］因为正数 a 的平方根有两个，即± a，所以利用直接开平方法时要避免丢解2）配方法解一元二次方程）配方法解一元二次方程 把方程变为左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解 ［注意］［注意］ 配方的关键是，在二次项系数为 1 的条件下，方程的两边都加上一次项系数一 半的平方 （（3））因式分解法就是将方程的左边分解因式，右边为 0例如：x2+4x-12=0(x+6)(x-2)=0（（4））公式法公式法求根公式 ：x=（b2-ac≥0） ；aacbb 242【【典型例题典型例题】】 考查一元二次方程的概念 例例 1.下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A. axbxc20B. k xk2560C. 32 41 202xxD. 31202xx分析：分析：要看一个方程是否为一元二次方程，就要严格按概念来对照，因此解答 的关键是理解一元二次方程的概念，在二次项系数不等于零上常会出现错误。

解：解：A 中最高次项为 ax2，因无法判定 a 是否不为零，所以不能确定该方程是否 为一元二次方程；B 中最高次项为 k2x，显然不是关于 x 的一元二次方程；C 中 方程是一元二次方程；D 中分母含有未知数，所以不是整式方程，从而也一定 不是一元二次方程 答案：答案：C 点评：点评：本题考查一元二次方程的概念，所给方程要想是一元二次方程，必须符 合一元二次方程的三个本质特征例例 2.方程()| |mxmxm2310是关于 x 的一元二次方程，则（ ）A. m＝±2B. m＝2 C. m＝－2D. m≠±2 分析：分析：本题考查一元二次方程的概念，要使方程是一元二次方程，则必须含有二次项，且二次项系数不能为零解：解：由题意得，| |mm220≠∴m＝2答案：答案：B 点评：点评：m 满足的条件有二，即二次项的未知数指数是 2，系数不等于零，特别 注意条件二的系数不等于零，此处易忽略 例例 3.若axx2530是一元二次方程，则不等式360a 的解集是（ ） A. a  2B. a  2C. aa 20且 ≠D. a  1 2分析：分析：由方程是一元二次方程，可得 a≠0，再解不等式。

解：解：∵axx2530是一元二次方程，∴a≠0 又∵360a ，∴a  2 ，即a  2 且 a≠0 答案：答案：C 点评：点评：在不等式的解集中附加第一个条件 例例 4.若xxxm122320是关于 x 的一元二次方程，则 m＝_____________ 分析：分析：方程是一元二次方程，则其最高次项是二次，它可能是xm1与22x，也 可能只有22x，所以本题应分类讨论 解：解：∵方程是一元二次方程，∴mmm   121110或或∴mmm 101或或点评：点评：xm1的指数是 2 或 1 或 0，均可保证方程是一元二次方程例例 5.已知()31232kxkx 是关于 x 的一元二次方程，求不等式kk1 241 31的解集分析：分析：方程是一元二次方程，限制了 k 的一个范围，求出不等式的解的集合， 应将此解集与前面 k 的范围加以整合解：解：∵()31232kxkx 是关于 x 的一元二次方程，∴3101 31 241 31kkkk≠ ，∴ ≠，312 41651()()kkk ，∴k 1 5∴不等式kk1 241 31的解集是kk1 51 3且 ≠。

点评：点评：求不等式kk1 241 31的解集时，不要忽略了k≠ 1 3这个前提条件考查一元二次方程的一般形式例例 6.把方程3622xx化成一般形式，并指出其二次项系数，一次项系数及常数项 分析：分析：本题考查对一元二次方程一般形式的认识，任何一个一元二次方程经过 变形整理，都可化为一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项都是对一 般形式而言的解：解：移项得，36202xx二次项系数是3，一次项系数是 6，常数项是2 点评：点评：此方程中未知数是 x，π 是一个常数，不是未知数例例 7.把方程()()()xxx552102化为一元二次方程的一般形式是（ ）A. 54402xxB. x250C. 52102xxD. 5462xx0分析：分析：本题考查了一元二次方程一般形式的同时，还考查了平方差公式和完全 平方公式解：解：()()()xxx552102xxx2254410∴54402xx答案：答案：A 点评：点评：巧妙运用公式来简化运算，注意各项的符号例例 8.已知关于 x 的方程mxmxm||()2213是一元二次方程，则m＝___________。

分析：分析：方程是一元二次方程，须满足最高次数是二次，二次项系数不为零 解：解：∵方程是关于 x 的一元二次方程，∴||mmm 2204≠，∴易错点：易错点：一元二次方程的一般形式中二次项系数 a≠0 在解决问题中容易出错，这是极易被忽略的一点 考查一元二次方程的解例例 9.若x0是一元二次方程axbxc20（a≠0）的根，Abac24，B＝()202axb，试比较 A 与 B 的大小分析：分析：x0是方程的解，代入方程应该能使方程成立，之后利用式子的特征进行 适当变形即可解：解：∵x0是方程axbxca200 ()≠的根∴axbxc02 00∴Baxba xax bb()244022 02 024444440442 02 0202 0222a xax bbacaca axbxcbacbacbacA()点评：点评：将 B 展开后，要用上axbxc02 00，就要对式子变形，构造出axbxc02 0，同时顾及到 A 中的bac24，已有b2，故需添上4ac，于是利用添项法即可解决问题，这是数学中常见的式子变形方法。

例例 10.如果关于 x 的方程xpx210的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p 的值是（ ）A. 1B. ±1C. 2D. ±2分析：分析：倒数恰为本身的数有 1 和－1 两个，于是将 1 和－1 代入方程可得 p 的值解：解：∵倒数恰是本身的数是 1 和－1，∴1 和－1 都可以是方程xpx210的根∴当 x＝1 时，1102p，∴p  2当x  1时，()1102p，∴p＝2答案：答案：D 点评：点评：利用根的定义代入即可得 p 的值，应注意的是其解有二。