最优捕捞策略.doc

最优捕捞策略 唐春华 吴荣秋 朱平平【摘要】 本文建立了捕捞鳀鱼的优化策略模型，使此资源可持续开发且年收获量最大；并对某渔业公司提出捕捞建议，使总收获量最大首先，以年为周期从离散的角度入手，利用递推的方法建立了一个初等线性递推模型并得到最优解其次，考虑到鱼死亡时间的连续性，建立了相应的微分方程和差分方程模型，使得模型更具一般化接着，我们以递推模型为基础，建立了生产能力约束条件下的捕捞模型最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并提出了相应的改进方法关键词】微分方程 捕捞强度系数 离散 连续一、 一、           问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业）的开发必须适度一种合理简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益 假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。

渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高以及对某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略同时提供了一种可再生资源的开发思路与管理模型二、 二、           问题分析因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄鱼的捕捞条数决定由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞强度系数ki）,同时按照题意要求：实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、、4龄鱼各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此可以把本题就转化为约束极值问题通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，则称“捕捞——产卵”为一个周期（每年的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多阶段又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的多少直接影响下一年3龄鱼的多少……即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。

 三、 三、基本假设和符号说明（一）基本假设1、 1、  鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布；2、 2、  1龄鱼、2龄鱼可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、 3、  3龄鱼、4龄鱼死亡时间相对集中，在产卵之后、下一年开始捕获之前；4、 4、  成活的i龄鱼每经过一年即一个周期变为()龄鱼 ，而4龄鱼不变；5、 5、  假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数6、 6、  各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；7、 7、  只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略；（二）符号说明符号意义说明单位Fi(T)第T年初 i龄鱼的总条数, 未知量条第T年t时间的 i龄鱼的条数, 未知量条S年收获量（年捕捞总量）未知量克捕捞强度系数（i=3,4）未知量 r鱼的自然死亡率已知量1/年n平均每条4龄鱼的产卵量已知量个t时间 ，可以取（0，1）区间的任意实数变量年T时间 ，可以取任意自然数变量年 四、 四、             模型建立及求解（一） （一）        模型1 首先，我们把整个过程以年为单位离散化来处理，通过假设使得1、2、3龄组的鱼群可能经不同时间成长变化为2、3、4龄组的鱼群，同时使得3、4龄鱼捕获期与产卵期分离且死亡时间集中。

对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则， ………………………… ……（1-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则 ……（1-2） 对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则， ……（1-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则， ……（1-4）题目要求“实现可持续捕获”，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年的条数，建立等式如下， ……（1-5）根据题目已知条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42：1”，则 ………（1-6）由于题目要求在“实现可持续捕获”前提下达到最高的捕获量，且“只能捕获3龄鱼和4龄鱼”，则年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关系为max ……（1-7）把（1）至（6）式作为约束条件，（7）式作为目标函数，即max  s.t ……（1-1） ……（1-2） ……（1-3） ……（1-4） ……（1-5） ……（1-6）根据已知条件：r=0.8，n=1.109×105 ,解方程得到： k4=0.97, k3=0.4074，最后3龄鱼的数目约为4龄鱼的8.3868倍，其中3龄鱼的数目为 2.5142×109条，4龄鱼的数目为 2.9978×108条。

二） （二）        模型2因为3、4龄鱼的死亡时间与1、2龄鱼同样具有不确定性：可以为一年的任意时间点，而模型1是在假定3、4龄鱼的死亡时间在一个确定的时间范围内建立的，所以在模型2中我们重点对模型1的这一部分进行整改思路为：先考虑第T年（T为一个确定值）内的任意t时刻（ t∈(0,1) ）3、4龄鱼的条数，然后把T也作为变量，递推出第T+1年的情况首先，我们假设3、4龄鱼可以在一年的任意时间点死亡，把第T年（这里T为定值）的t时刻3、4龄鱼各自的条数看作t的连续函数在时间内的变化量，等于它的变化率（假定为α）与以及三者的积，由此建立微分方程如下， ……（2-1）然后，考虑α的取值第一， 由题目已知鱼的自然死亡率 r，则定义（1—r）为自然存活率，是α的一个因子；第二， 在一定水域范围内所能容纳的各种鱼群总数是有限的（定义为Mi）根据鱼类饲养知识，Mi与鱼的增长是负相关的，当Ni=Mi时，Ni不再增长，则可以构造作为α的一个因子； 第三，因为一年内前8个月存在捕捞情况，而后4个月没有，则应该分段的来处理α的取值前者存在一个因子，而后者没有；第四，由于T一个固定值，所以暂时不考虑（i-1）类鱼的转化为i龄鱼;综上所诉，得到以下微分方程式，  ( ……（2-2） 通过以上微分方程可以求得关于t的连续函数：令为第T年的初始状态，  ……（2-3）将、代入目标函数有： ……（2-4） st：  下面采用逐步搜索法求解S的最大值及相应的捕捞系数k4, 结果为：，，S=357646(吨)（三） （三）        模型3 通过前面的分析可知：从整体上看，各龄鱼的数目在不同年份是一个离散模型。

因此，以年为单位把鱼生长期按年龄离散化，可得到一个离散模型： 该式子用来描述第i龄鱼在第T+1年的数目与 第i龄鱼在第T年的数目之间的函数关系，这实际上是一个差分方程假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数 对于题目中的第二问，要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，可以理解为捕捞5年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞时鱼群的年龄组成由于只有3、4龄鱼可产卵繁殖为1龄鱼，且只有3、4龄鱼可被捕捞，所以3、4龄鱼的数量变化对1龄鱼影响最大，即1龄鱼对捕捞策略的贡献最大因此，只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可这样，上述离散模型变为： 结合模型1，考虑每年的捕捞强度系数不相同的情况，分别表示第T年的捕捞强度系数，对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则， ……（3-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则 ……（3-2）对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则， ……（3-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则， ……（3-4）根据前面的分析，要使5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，则只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。

既满足以下关系式： ……（3-5）根据。