连续介质力学读书报告.doc

21第一章 绪论研究连续介质宏观力学性状的分支学科宏观力学性状是指在三维欧氏空间和均匀流逝时间下受牛顿力学支配的物质性状连续介质力学对物质的结构不作任何假设它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的物质结构理论研究特殊结构的物质性状，而连续介质力学则研究具有不同结构的许多物质的共同性状连续介质力学的主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出问题的解答如果一个物体的质量、动量、能量密度在数学意义上存在，这个物质就是一个物质连续统（连续介质）这样一个物质连续统的力学就是连续介质力学（附加限制条件：只要始终保持含有足够多的粒子，而不至于使极限值不存在或者发生突跃）它通常包括下述基本内容：①变形几何学，研究连续介质变形的几何性质，确定变形所引起物体各部分空间位置和方向的变化以及各邻近点相互距离的变化，这里包括诸如运动，构形、变形梯度、应变张量、变形的基本定理、极分解定理等重要概念②运动学，主要研究连续介质力学中各种量的时间率，这里包括诸如速度梯度，变形速率和旋转速率，里夫林－埃里克森张量等重要概念③基本方程，根据适用于所有物质的守恒定律建立的方程，例如，热力连续介质力学中包括连续性方程、运动方程、能量方程、熵不等式等。

④本构关系⑤特殊理论，例如弹性理论、粘性流体理论、塑性理论、粘弹性理论、热弹性固体理论、热粘性流体理论等⑥问题的求解根据发展过程和研究内容，客观上连续介质力学已分为古典连续介质力学和近代连续介质力学1.1基本假设 连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，数度，压力等）这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等 11.2研究对象 固体：固体不受外力时，具有确定的形状固体包括不可变形的刚体和可变形固体刚体在一般力学中的刚体力学研究；连续介质力学中的固体力学则研究可变形固体在应力，应变等外界因素作用下的变化规律，主要包括弹性和塑性问题 　　 弹性：应力作用后，可恢复到原来的形状 　　 塑性：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。

　　 流体：流体包括液体和气体，无确定形状，可流动流体最重要的性质是粘性（viscosity，流体对由剪切里引起的形变的抵抗力，无粘性的理想气体，不属于流体力学的研究范围）从理论研究的角度，流体常被分为牛顿流体和非牛顿流体 　　 牛顿流体：满足牛顿粘性定律的流体，比如水和空气 　　 非牛顿流体：不满足牛顿粘性定律的流体，介乎于固体和牛顿流体之间的物质形态1.3连续介质力学发展史古典连续介质力学，侧重于研究两种典型的理想物质，即线性弹性物质和线性粘性物质弹性物质是指应力只由应变来决定的物质当变形微小时，应力可以表示为应变张量的线性函数，这种物质称为线性弹性固体本构方程中的系数称为弹性常数对各向异性弹性固体最多可有21个弹性常数,而各向同性弹性固体则只有2个粘性物质是指应力与变形速率有关的物质对流体来说，如果这个关系是线性的，就称为线性粘性流体或称牛顿流体对线性粘性流体只有 2个粘性系数这两种典型物质能很好地表示出工程技术上所处理的大部分物质的特性，所以，古典连续介质理论至今仍被广泛应用并将继续发挥它解决实际问题的能力连续介质力学近代连续介质力学 是1945年以后逐渐发展起来的。

它在下列几个方面对古典连续介质力学作了推广和扩充：①物体不必只看作是点的集合体；它可能是由具有微结构的物质点组成②运动不必总是光滑的；激波以及其他间断性、扩散等，都是容许的③物体不必只承受力的作用；它也可以承受体力偶、力偶应力以及电磁场所引起的效应等④对本构关系进行更加概括的研究⑤重点研究非线性问题研究非线性连续介质问题的理论称为非线性连续介质力学 　　近年来，近代连续介质力学在深度和广度方面都已取得很大的进展，并出现下列三个发展方向：①按照理性力学的观点和方法研究连续介质理论，从而发展成为理性连续介质力学②把近代连续介质力学和电子计算机结合起来，从而发展成为计算连续介质力学③把近代连续介质力学的研究对象扩大，从而发展成为连续统物理学1.4学科构成连续介质力学体系的由基元（物体、质量、时空系、运动、力、功和能、温度和热），基本规律（适合于所有物体，构成自然界的基本规律）及本构方程（各种物体特有的规律）组成1.5主要分支学科：基本分支学科：固体力学；弹性力学；塑性力学；断裂力学；流体力学；流体静力学；流体运动学；流体动力学 　　应用分支学科和交叉学科：结构力学；材料力学；爆炸力学；空气动力学；等离子体动力学；磁流体动力学。

1.6主要研究内容张量初步（张量的概念、坐标变换、张量运算等）；运动和变形（关于物体变形和运动的几何描述）；基本定律（如质量守恒、动量守恒等以及热力学定律）；本构关系（本构公理以及典型简单物质的本构方程）第二章 张量初步2.1 矢量和张量重要矢量等式：指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则协变基底和逆变基底： 张量概念 度量张量 张量的商法则 置换符号 置换张量 2.2： 二阶张量重要性质：主不变量 标准形1) 特征值、特征向量 2) 实对称二阶张量标准形 3. 正交张量（了解方法）4. 反对称二阶张量的标准形5. 正则张量极分解 2.3 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数计算 重要定理：1) Hamilton-Cayley定理：2) .对称各向同性张量函数表示定理：；其中；而系数是的主不变量的函数张量函数的导数1) 方向导数： 是的线性函数2) 方向导数与导数之间的关系 3) 导数4) 张量函数导数的链式法则：，则 重要辅助知识2.4：曲线坐标系张量分析基矢量的导数 Hamilton 算子 张量的协变导数重要性质：1) ．度量张量的协变导数为零 2) ．置换张量的协变导数为零3) ．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换 4) ．积分定理 Riemann-Christoffel 张量 欧氏空间特性：① Riemann曲率张量等于零 ②张量对曲线坐标的求导顺序可交换张量的物理分量 掌握张量在标准基下分解时Hamilton 算子对张量的运算（会求极坐标系下线应变张量）第三章 连续介质力学基础3.1物质坐标和空间坐标对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。

用于标示质点的坐标称为物质坐标；表示空间中几何点的坐标则称为欧拉坐标两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t质点占据空间位置，则二者之间具有函数关系：由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：当我们采用空间（Euler）坐标时，相应的基矢量：两者之间具有转换关系： 3.2物质导数高斯定理：设Ω 为空间有界闭区域，其边界面S是分片光滑曲面，曲面正侧记作S+，若向量函数F(x,y,z)={P (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)}的各分量在Ω及S+上有连续一阶偏导数，则有：或其中，在点(x,y,z)处的单位法向量3.2.1质点的速度：算子称为物质导数（全导数）它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变化率 Euler 坐标基底矢量的物质导数：物质坐标（Langrange）基底矢量的物质导数： 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此 利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到： Langrange逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式 求得。

显而易见：因此 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而 （物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）3.2.2张量的物质导数Euler描述下，张量是空间坐标和时间的函数，所以张量的物质导数：　　　　　物质描述下，张量的物质导数：由于　　　　所以 可以证明度量张量的物质导数为零：（）3.3速度场的加法分解　将速度梯度分解为对称部分和反对称部分： 其中： 如果弹性体做刚体运动，则刚体上一点的速度 因此 （） 所以，刚体运动时速度梯度的对称部分，即刚体运动的速度梯度是反对称的速度梯度的对称部分描述变形的速率，而反对称部分描述基矢量的转动速率3.4二阶张量场的相对导数刚体转动会引起张量变化率的改变，客观的应力、应变随时间变化率应剔除刚体转动所引起的那部分 将速度梯度进行加法分解后得到：上式右端的前两项定义为Jaumann导数: Jaumann导数剔除了局部刚体运动的影响，它是一种相对导数些材料的本构关系和应变、应力的变化率有关然而，应力张量（应变张量）的物质导数却不适合在本构关系中使用：例如：一个做刚体运动的弹性体的内部应力是不变的，然而应力张量的物质导数却是非零的，因此应当采用应力、应变的相对导数描述本构关系：3.5连续介质的变形与运动 变形前物质线元 ，变形后成为其中 ； 是变形梯度张量，它的逆张量 ；这是由于：从变形梯度张量的表达式中可知： 变形梯度张量是协变瞬时协变基底矢量与初始协变基底矢量的并矢；它的逆是初始协变基底与瞬时逆变基底的并矢。

3.5.1位移梯度与变形梯度张量之间的关系物质描述下空间一点的矢径 其中为变形前（初始时刻）连续介质中一点所在的位置；为质点的位移 因此 其中,算子 ; 两者之间的联系： 变形前后线元长度的变化：两种张量与位移梯度之间的关系：小变形、小位移假设下，应变张量的非线性部分：可以忽略，从而： ; 。