高数第二篇线性代数 第4章 矩阵基础.ppt

第4章 矩阵基础• 的概念4.1 矩阵 • 4.2 矩阵的基本运算 • 4.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 • 4.4 矩阵的逆 • *4.5 分块矩阵的运算 • 4.6 矩阵运算在计算机图形学中的应用例 4.1 设要将某种物质从三个产地A1、A2 、A3运往四个销地B1、B2、B3、B4，用aij 表 示由产地Ai调往销地Bj的物质数量，那么这一 调运方案可用下面的表格表示：4.1 矩阵的概念• 例4.2 考虑线性方程组：• 把此线性方程组的系数按原来的次序排成如下的系 数表：• 常数项也排成一个表 有了这两个表，• 方程组就完全被确定了•例4.3 在平面解析几何中，坐标旋转变换 公式为•显然，新旧坐标之间的关系可通过其系数表 ：来表示，称它为坐标旋转变换的旋转变换 表• 定义4.1 由mn个数（i=1,2,…,m； j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形阵式称A为一个m行n列的矩阵，或m×n矩阵• 因为矩阵A中第i行第j列的元素为aij，所以 矩阵A常写为• 设矩阵， ， 若m=s，n=t，且A与B的对应元素相等： （i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），则称矩阵A 与B 相等，记为A=B。

• 当m=n时，称为n阶方阵 • 当m=1时，即只有一行的矩阵，称为行矩阵或 行向量 • 当n=1时，即只有一列的矩阵，称为列矩阵或 列向量 • 当m=n=1时，即只有一个元素的矩阵，矩阵就 退化为通常的标量了 • 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O • 主对角线元素全是1，其余元素全是0的方阵 为单位阵，记为I或者E• 定义4.2 设A(aij)和B(bij)是两mn个矩阵，把它 们的对应元素相加，得到一个新的矩阵则称矩阵C是A与B的和，记作C=A+B 注意：两个矩阵必须在行数与列数分别相等的情况下 才能相加4.2 矩阵的基本运算矩阵的加法满足 • 交换律 A+B=B+A， • 结合律 (A+B)+C=A+(B+C)• 对于任何矩阵A有：A+O=A• 设矩阵 ， 若把它的每一元素换为其相反数，得到一个 矩阵，称它为A的负矩阵， 记为-A，显然有 A+(-A)=O• 利用矩阵的加法及负矩阵的概念，我们可以 定义两个矩阵A与B的差，即定义减法： • A-B=A+(-B)。

• 其实质也就是把A与B的元素对应相减 • 显然，A-B=0与A=B等价• 定义4.3 设A= (aij) 是一个矩阵，k是一个数， 则称矩阵• 为矩阵A与数k的数量乘积，记为kA • 数量乘积满足下列运算规律：分配律 (k+l)A=kA+lAk(A+B)=kA+kB结合律 k(lA)=(kl)A1A=A (其中k、l是数，A、B是矩阵)定义4.4 设A(aij)是一个mn矩阵 B(Bij)是一个 np矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB 规定 为mp矩阵C(cij) 其中 (i1 2   m；j1 2  p) 注意： 1. A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘 2.乘积C=AB中第i行第j列元素等于A的第i行与B 的第j列元素对应乘积之和 3.乘积C=AB的行数等于A的行数，C=AB的列数 等于B的列数• 例4.5 设 ， ，则 • 例4.6 对线性方程组：• • 则该线性方程组可写成一个矩阵方程AX=B。

• A为方程组的系数矩阵，B为方程组的常数项 矩阵，X为方程组的未知变量矩阵解 32 1616 80 00 0本例说明乘法一般不满足交换律 从ABO一般不能推出AO或BO 从A(XY)O一般不能推出XY • 矩阵乘法的性质 • 1. 不满足交换律 • 2. 由AB=O，不能推出A=O或B=O • 3. 满足结合律 (AB)C=A(BC) • 4. 乘法对加法满足分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA • 5. 矩阵的乘法和数量乘法还满足结合律 k(AB)=(kA)B • 6. ImA=AIn=A• 定义4.4 设矩阵 ，• 把它的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为 • 转置矩阵满足以下运算律• 1） ； • 2） ； • 3） ； • 4） 4.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩• 4.3.1 矩阵的初等变换 • 4.3.2 矩阵的秩• 定义4.5 对矩阵施以下列三种变换，称为矩 阵的初等变换： • 1)交换矩阵的两行（列）.(对调变换 (i)(j))• 2)以一个非零的数k乘以矩阵的某一行(列). （倍乘变换 k(i)） • 3)把矩阵某一行（列）的k倍加于另一行（列 ）上.（倍加变换 k(i)+j）4.3.1 矩阵的初等变换• 若在矩阵各行中位于第一个非零元素前 面的零的个数逐行増加，且矩阵的全零 行在最下方，则称此矩阵为阶梯形矩阵 。

• 定理4.1 任意一个矩阵经过若干次初 等行变换均可以化为阶梯形矩阵• 例4.7 设 ，则可化A为阶梯形矩阵：• 此矩阵为阶梯形矩阵4.3.2 矩阵的秩• 定义4.6 矩阵A的阶梯形矩阵中非零 行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A ）或r(A) • 设A为n阶方阵，若r(A)=n，则称A为满 秩矩阵，或称A为非奇异的或非退化的 • 命题：任意一个n阶满秩矩阵经过矩阵 的初等变换均可以化为n阶单位阵4.4 矩阵的逆• 4.4.1 逆矩阵和可逆矩阵 • 4.4.2 矩阵可逆的条件 • 4.4.3 求逆矩阵4.4.1 可逆矩阵与逆矩阵• 定义4.7 设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩 阵B，使得 ，则称A为可逆矩阵 ，称B为A的逆矩阵A的逆矩阵用 表 示 • 性质：若A可逆,则A的逆矩阵是唯一的 • 证明(反证法)：假设A有两个逆矩阵B、C，即 ， ，于是 ，所以逆矩阵是唯一的• 注意 ：• 1）可逆矩阵一定是方阵，且 不能写成 。

• 2）有逆矩阵的方阵称为可逆矩阵，无逆矩阵的方阵称为不可逆矩阵• 3）若A的逆矩阵是B，则B的逆矩阵也是A• 矩阵的逆满足以下运算律：• 1）• 2）• 3） • 4）4.4.2 方阵可逆的条件• 定理4.2 方阵A为可逆阵的充分必要条件是 A为满秩矩阵 • 例: A为4阶方阵，r(A)=3，A为非满秩矩阵 ，所以A为不可逆矩阵• 利用初等行变换求逆矩阵的方法：• 1. 先在所要求的矩阵旁添上一个与其阶数相 等的单位矩阵，成为 的形式，• 2. 然后对矩阵 进行初等行变换，将 其左半部 A 化为单位矩阵，这时右半部即为 A的逆矩阵，即 变成 这样就把A的逆矩阵 求出来了4.4.3 求逆矩阵• 例4.8 设 ，求 • 解： 所以• 注意 ：对矩阵 进行初等行变换时，若 所变换矩阵左半部子块中有一行的元 素全为0，可知A为非满秩矩阵，由定 理4.2，则知A为不可逆矩阵线性方程组AX=B令 =[A,B]，称为方程组的增广矩阵。

1线性方程组AX=B有解的充分必要条件是 ； 2若方程组AX=B有解，则当 时,方程组只有唯一解 ;当 时,方程组有无穷多解；• 4.6.1 伸缩变换 • 4.6.2 平移变换 • 4.6.3 旋转变换 4.6 矩阵运算 在计算机图形学中的应用4.6.1 伸缩变换• 伸缩变换是由视图沿x、y、z轴方向分别以伸 缩系数 、 、 伸缩而成用这种方 法，我们指定原视图中具有坐标 的点移动到新视图中具有坐标 的新的点 上• 用矩阵乘法完成伸缩变换 • 定义一个三阶对角矩阵为• 原视图中点Pi的坐标表示为列矩阵• 变换后的点P’i的坐标表示为列矩阵• 原来视图所有n个点的坐标作为矩阵P的列，则矩阵P 称为坐标矩阵通过变换这n个点同时产生伸缩视图 的坐标矩阵 P’=SP. • 把这个新的坐标矩阵输入视屏显示系统，就产生物 体的新视图4.6.2 平移变换• 平移变换是将物体平移（或位移）到视屏的 一个新的位置。

假设我们希望改变现有的视 图，使具有坐标 的每一点移到 具有坐标为 的新的 点 • 通过矩阵加法实现平移变换 • 平移向量用列向量表示• 定义一个3Xn矩阵T如下：• 视图的所有n个点由坐标矩阵P确定，通过方程 能实现平移变换坐标矩阵P’给出n 个点的新坐标4.6.3 旋转变换• 旋转变换是视图关于三个坐标轴进行旋转 的变换 • 从绕z轴旋转一个角 开始（z轴垂直于屏 幕），已知点 在原来视图中具有坐标 ，我们要计算旋转后的点 的新坐标 • 运用三角知识推导出如下式子：• 此式可用矩阵表达如下：用 表示这个等式中的3阶方阵，称为旋转矩阵 ，那么被旋转的n个点可用矩阵的乘积求得旋转之后视图的坐标矩阵 • 绕x轴y轴的旋转可类似地完成绕x轴，y轴 旋转的旋转矩阵如下： • 绕x轴旋转角：• 绕y轴旋转角：• 绕三个坐标轴旋转综合起来就得到物体的斜 视图第2章 复习• 矩阵的概念：行矩阵、列矩阵、零矩阵O、单位矩阵I、阶梯形 矩阵、可逆矩阵、满秩矩阵 • 运算及其性质：（注意运算的条件） p 加法（减法）：交换律、结合律 p 数乘：分配律、结合律 p 乘法：不满足交换律、满足结合律和分配律 p 转置：加法、乘法运算律 p 初等变换：求阶梯形矩阵、求秩、判断矩阵是否可逆、求逆矩 阵 p 逆：数乘、乘法、转置的运算律。

可逆的充分必要条件 • 矩阵的应用：计算机图形学中的伸缩、平移、旋转变换。