2022年概率论与数理统计知识点总结 4.docx

精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§ 2．样本空间、随机大事1．大事间的关系 A B 就称大事 B 包含大事 A ，指大事 A 发生必定导致大事 B 发生A B { x xA或xB} 称为大事 A 与大事 B 的和大事，指当且仅当 A ， B 中至少有一个发生时，大事 A B 发生A B { x xA且xB} 称为大事 A 与大事 B 的积大事，指当 A， B 同时发生时，事件 A B 发生A — B{ x xA且xB} 称为大事 A 与大事 B 的差大事，指当且仅当 A 发生、 B 不发生时，大事A — B 发生A B ，就称大事 A 与 B 是互不相容的， 或互斥的， 指大事 A 与大事 B 不能同时发生，基本领件是两两互不相容的A B S且 A B，就称大事 A 与大事 B 互为逆大事，又称大事 A 与大事 B 互为对立大事2．运算规章交换律 A B B A结合律 〔 A B〕 CA B BA 〔 B C 〕A〔 A B〕CA〔 B C 〕安排律 A （ BC） 〔 AB 〕 〔 A C 〕A 〔 BC 〕 〔 AB 〕〔 A C〕徳摩根律 A B A§ 3．频率与概率—B A B A B定义在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，大事 A 发生的次数nA 称为大事A 发生的 频数 ，比值 n An 称为大事 A 发生的 频率概率：设 E 是随机试验， S 是它的样本空间， 对于 E 的每一大事 A 给予一个实数， 记为 P（A），称为大事的概率1．概率P〔 A〕 满意以下条件：（ 1） 非负性 ：对于每一个大事 A 0 P〔 A〕 1（ 2） 规范性 ：对于必定大事 S P 〔S〕 1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 3）可列可加性 ：设A1 , A2 ,, An是两两互不相容的大事， 有nP〔 Ak 〕k 1nP 〔 Ak 〕（ n 可k 1以取 ）2．概率的一些重要性质：（ i ） P 〔 〕 0（ ii ）如A1 ,A2 ,, An 是两两互不相容的大事，就有nP 〔 Ak 〕nP〔 Ak 〕 （ n 可以取 ）k 1k1（ iii ）设 A ， B 是两个大事如 AB ，就P〔B A〕P〔 B〕P 〔 A〕，P〔 B〕P〔 A 〕（ iv ）对于任意大事 A，P 〔 A〕 1（ v ）P 〔 A〕1 P 〔A〕（逆大事的概率）（ vi ）对于任意大事 A， B 有P 〔 AB 〕 P〔 A〕P〔 B 〕P 〔 AB〕§ 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个大事发生的可能性相同如 事 件 A 包 含 k 个 基 本 事 件 ， 即 A{ ei }{ ei }{ ei } ， 里1]2ki 1， i 2,， i k 是1,2，n中某 k个不同的数，就有P〔 A〕kP { ei j }j 1k A包 含 的 基 本 事 件 数n S中 基 本 事 件 的 总 数§ 5．条件概率（ 1） 定义： 设 A,B 是两个大事，且P〔 A〕0 ，称P〔 B | A〕P 〔 AB〕P 〔 A〕为大事 A 发生的条件下大事 B 发生的 条件概率（ 2） 条件概率符合概率定义中的三个条件；1 非负性：对于某一大事 B ，有P 〔 B | A〕 0；2 规范性：对于必定大事 S， P〔 S | A〕 13 可 列 可 加 性 ： 设B1, B2 ,是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 就 有P〔 Bi A 〕i 1P〔 Bi A 〕i 1（ 3） 乘法定理设P〔 A〕0 ，就有P〔 AB 〕P 〔B〕P 〔 A | B〕称为乘法公式精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 4） 全概率公式：P 〔 A〕nP 〔Bi 〕P〔 A | Bi 〕i 1贝叶斯公式：P〔 Bk| A〕P〔 Bk 〕 P〔 A |nBk 〕P〔 Bi 〕P〔 A | Bi 〕i 1§ 6．独立性定义 设 A ， B 是两大事，假如满意等式P〔 AB 〕P〔 A〕 P〔 B 〕 ，就称大事 A,B 相互独立定理一设 A ，B 是两大事，且P〔 A〕0 ，如 A ，B 相互独立，就P〔B | A〕 P B— — — —定理二如大事 A 和 B 相互独立，就以下各对大事也相互独立： A 与B ，A 与B ，A 与 B其次章随机变量及其分布§ 1 随机变量定义设随机试验的样本空间为S {e}. XX〔e〕是定义在样本空间 S 上的实值单值函数，称 X X〔e〕 为随机变量§ 2 离散性随机变量及其分布律1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量P〔 Xxk 〕pk 满意如下两个条件（ 1） pk0 ，（ 2） Pk =1k 12． 三种重要的离散型随机变量（ 1） 0 - 1 分布设 随 机 变 量 X 只 能 取 0 与 1 两 个 值 ， 它 的 分 布 律 是P〔 Xk 〕 p（k1 - p）1-k， k0,1 （0p 1〕，就称 X 听从以 p 为参数的 0 - 1 分布或两点分布；（ 2）伯努利试验、二项分布—设试验 E 只有两个可能结果： A 与 A ，就称 E 为伯努利试验 .设 P〔A〕p （0p 1〕 ，—此时 P〔A 〕1 - p .将 E 独立重复的进行 n 次，就称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验；P〔 X k 〕n k n-kp q ， kk0,1,2，n 满意条件（ 1 ） pk0 ，（ 2） Pkk 1=1 留意到精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -n p k qn -k 是二项式（pkq）n 的绽开式中显现pk 的那一项，我们称随机变量 X 听从参数为n， p 的二项分布；（ 3）泊松分布设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 的 值 为 0,1,2 ， 而 取 各 个 值 的 概 率 为P〔 X k 〕k e-, kk.0,1,2, 其中 0 是常数，就称 X 听从参数为 的泊松分布记为X ~ （ ）§ 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数F〔 x〕P{Xx}, - x称为 X 的分布函数分 布 函 数F 〔 x〕P〔 Xx〕 ， 具 有 以 下 性 质 〔1〕F 〔 x〕是 一 个 不 减 函 数 （ 2 ）0 F 〔 x〕1，且 F 〔〕 0, F 〔 〕1 （ 3） F 〔 x 0〕F 〔 x〕, 即F 〔 x〕是右连续的§ 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：假如对于随机变量 X 的分布函数 F（ x），存在非负可积函数f 〔 x〕 ，使对于任意函数 x 有F〔 x〕xf （ t） dt ,-就称 x 为连续性随机变量，其中函数 f〔x〕 称为 X 的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度f 〔 x〕 具有以下性质，满意（ 1）x2f 〔 x〕0, 〔2〕-f 〔x〕dx 1；，（ 3）P〔x1 Xx2 〕f 〔x〕dx ；（ 4）如x1f 〔 x〕在点 x 处连续，就有F 〔x〕f 〔 x〕2,三种重要的连续型随机变量〔1〕 匀称分布如连续性随机变量 X 具有概率密度f 〔 x〕1 ， a b - ax b，就成 X 在区间 〔a,b〕上听从0 ，其他匀称分布 .记为〔2〕 指数分布X ~ U （a， b）如连续性随机变量 X 的概率密度为f 〔 x〕1 e-x， x.0 其中 0 为常数，就称 X0 ，其他听从参数为 的指数分布；（ 3）正态分布精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -如 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为。