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高等数学习题课（（1 1））函数极限与连续性许志成许志成 制作制作第一课第一课 函数极限与连续函数极限与连续I.目的要求目的要求II. III. 1. 理解极限概念，无穷小、无穷大概念及其关系IV. 2. 熟悉两重要极限，掌握求极限的一般方法；V. 3. 掌握函数连续与间断的定义，能熟练判断函数 VI. 的连续和间断点的类型；VII. 4. 了解闭区间上连续函数的性质，并利用这些性VIII. 质解决一些问题IX.  II.内容要点内容要点1.极限概念极限概念 2.极限的性质极限的性质（1） 收敛的数列必然有界，有界是收敛的必要条件；3.极限运算法则极限运算法则4.极限存在准则极限存在准则5.函数连续的定义函数连续的定义 6.连续函数的性质连续函数的性质1)有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零），仍为连续函数；零），仍为连续函数；2)单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为单值单调的连续函数；单值单调的连续函数；3)连续函数的复合函数也是连续函数；连续函数的复合函数也是连续函数；4)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。

一切初等函数在其定义区间内都是连续函数7.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1)最值定理：最值定理： 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必能取得最大值和最小值2)有界性定理：有界性定理： 闭区间上的连续函数必有界3)介值定理：介值定理： 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b),则对任意介于f(a)与f(b)之间的数C,必存在一个 ξ∈(a,b),使得 f(ξ)=C  III.课堂训练题课堂训练题1. 求数列极限求数列极限 2. 求下列极限求下列极限 例例3. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点, 所以为可去间断点 ,极限存在例例4.4. 设函数设函数设函数设函数试确定常数 a 及 b .    例例8.8. 设设设设 f f ( (x x) ) 定义在区间定义在区间定义在区间定义在区间上 ,, 若 f (x) 在连续,提示提示:且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .证证:P73 P73 题题5.5. 证明证明证明证明: : 若若若若 令则给定当时, 有又根据有界性定理,, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界. 1.(1) 解：解：1.(2)解：解：2.(1)解：解：2.(2)解：解：2.(3)解：解：2.(4)解：解：2.(5)解：解：。