学霸笔记提分-数学.docx

衡水重点中学状元笔记——数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成例1　集合，，则　　　　错解：解方程组　　得　　　　　　【易错分析】　产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而是点集，而不是数集二、忽视空集的特殊性例2　已知，，若，则的值为　　错解：　　　由　得　　　　　　由　得或　　　　　　　　　　　　　　　　或3　　　　或【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了的情形，还应讨论的情形，当时，三、忽视集合中的元素的互异性这一特征例3　已知集合，，且，求的值．错解：　　，　必有　　　　　或【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当时，，不满足中元素应互异这一特征，故应舍去．（2）当时，，满足且集合中元素互异．的值为1四、没有弄清全集的含义例4　设全集，，求的值错解：　　且　　　　　　　　　　或【易错分析】没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当时，，此时满足．（2）当时，，应舍去，（二）函数 （一）函数的图像和对称性1.（1）若f（x）满足f（x）－f（2－x）＝0，则y＝f（x）图像的特征是关于直线x=1对称_；（2）若f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，则y＝f（x）图像的特征是关于点（1，0）中心对称；（3）若f（x）满足f（x）－f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以2为周期；（4）若f（x）满足f（x）＋f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以4为周期。

2.（1）R上的函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）图像的对称轴为直线x=a+b2；（2）R上的函数y＝f（x＋a）与y＝f（b－x）的图像关于直线 x=b-a2 对称二）单调区间注意定义域1.函数y=5-4x-x2的单调增区间是_________解：y=5-4x-x2的定义域是[-5,1]，又g(x)=5-4x-x2在区间[-5,-2]上增函数，在区间[-2,1]是减函数，所以y=5-4x-x2的增区间是[-5,-2]三）恒成立问题1.（1）若x2+2x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________；解：Δ=4-4a<0⇒a>1，∴a∈(1,+∞)（2）若9x+2⋅3x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________解：令t=3x>0，则f(t)=t2+2t+a>0⇒f(0)=a≥0,∴a∈0,+∞（四）函数的定义域、值域和单调性的逆用1.已知函数f(x)=lg1+2x+4x⋅aa2-a+1, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围易错分析】：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”。

解：1+2x+4x⋅aa2-a+1>0, 且a2－a+1=(a－12)2+34>0, ∴ 1+2x+4xa>0, a>-(14x+12x),当x∈(－∞, 1]时, y=14x与y=12x都是减函数，∴ y=-(14x+12x)在(－∞, 1]上是增函数，-(14x+12x) max=－34,∴ a>－34, 故a的取值范围是(－34, +∞)（五）分类讨论思想1.若(a+1)-13<(3-2a)-13，试求a的取值范围.解：∵幂函数y=x-13有两个单调区间，∴根据a+1和3-2a的正、负情况，有以下关系　&a+1>0&3-2a>0&a+1>3-2a ①　　　&a+1<0&3-2a<0&a+1>3-2a ②　　　　　&a+1<0&3-2a>0 ③解三个不等式组：①得23＜a＜32，②无解，③a＜－1∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）【易错分析】幂函数y=x-13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a+1>3-2a，从而导致解题错误六）根的分布问题1．试确定方程2x3-x2-4x+2=0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数。

解：令f(x)＝2x3-x2-4x+2∵f(-3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　f(-2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0f(-1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0， f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0根据f(-2)f(-1)＜0，f(0)f(1)＜0，f(1)f(2)＜0可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内易错分析】只要构造函数f(x)＝2x3-x2-4x+2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布三、三角函数（一）选择题：1．（如中）为了得到函数y=sin2x-π6的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ） A 向右平移π6 B 向右平移π3 C 向左平移π6 D向左平移π3【易错分析】审题不仔细，把目标函数搞错是此题最容易犯的错误答案: B2．（如中）函数y=sinx1+tanx⋅tanx2的最小正周期为 ( )A π B 2π C π2 D3π2【易错分析】将函数解析式化为y=tanx后得到周期T=π,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B（二）填空题：1．（如中）已知方程x2+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tanα，tanβ，且α、-π2π2，则tanα+β2的值是_________________。

易错分析】忽略了隐含限制tanα,tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根，从而导致错误正确解法：∵a>1 tanα+tanβ=-4a<0，tanα⋅tanβ=3a+1>o tanα,tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根 又α,β∈-π2,π2 ∴α,β∈-π2,0 即α+β2∈-π2,0 由α+β=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ=-4a1-3a+1=43可得tanα+β2=-2.答案: -2 2．已知5cos2α+4cos2β=4cosα,则cos2α+cos2β的取值范围是_______________易错分析】由5cos2α+4cos2β=4cosα得cos2β=cosα-54cos2α代入cos2α+cos2β中,化为关于cosα的二次函数在-1,1上的范围，而忽视了cosα的隐含限制，导致错误答案: 0,1625略解: 由5cos2α+4cos2β=4cosα得cos2β=cosα-54cos2α 1 ∵cos2β∈0,1 ∴cosα∈0,45 将（1）代入cos2α+cos2β得cos2α+cos2β=-14cosα-22+10,1625。

三）解答题：1．求函数的相位和初相 解： 原函数的相位为，初相为【易错分析】部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手应将所给函数式变形为的形式（注意必须是正弦） 2． 若，求的取值范围 解：令，则有 【易错分析】此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出或原因是忽视了正弦函数的有界性另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同这两点应引起我们的重视四、平面向量易错点1．遗漏零向量【例1】 已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行，则m值的个数是________错解】由-mm=2-m3m2-5m=0m1=5m2=0mm=03⋅(-m)-m(2-m)=0m1=5m2=0mΔABCa=5,b=8,C=60BC⋅CA-20203-203BC,CA=60BC⋅CA=BC⋅CA⋅cosBC,CA=5812=20BCCABC,CA=120BC⋅CA=BC⋅CA⋅cosBC,CA=58-12=-20AB=(3,4)⇔a⋅b<0(>0)=(-2,1)，b=(λ,-1)，(λ∈R)λ(-12，2)∪(2,+∞)(2,+∞)(-12，+∞）(-∞，-12）a⋅b<0-2λ-1<0λ>-12a⋅b<0a⋅b<0-2λ-1<0λ>-12a,b2-λ=0λ=2λλ>-12λ≠2a+3b7a-5ba-4b7a-2b(a+3b)(7a-5b)=0(a-4b)(7a-2b)=046ab=23b2b≠0a=12ba2=b2a=bcosθ=abab=12b2b2=120∘≤θ≤180∘θ=60∘b≠02ab=b2a2=b2a=bcosθ=abab=120∘≤θ≤180∘θ=60∘a=(2,-1)b=(-1,m)c=(-1,2)(a+b)a+b=(1,m-1)(a+b)1(-1)-(m-1)2=0m=12【易错分析】把“若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)≠0，则∥⇔x1y2-x2y1=0”错记成“x1y1-x2y2=0”.【正解】∵a+b=(1,m-1)，又(a+b)∥，∴12-(m-1)(-1)=0，得m=-1。

五、数列【易错点1】已知求时, 易忽略n＝１的情况．例1、数列前n项和且，求的值及数列的通项公式易错分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证易得出数列为等比数列的错误结论解析：易求得由得故得又，故该数列从第二项开始为等比数列故易错点2】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐例2、已知方程和的四个根组成首项为的等差数列，求的值易错分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：故从而=易错点3】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项例3、求…．【易错分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误解：由等差数列的前项和公式得，∴，取，，，…，就分别得到，…，∴．【易错点4】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。

例4、设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.【易错分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决。