202X届高考数学（理科）专题教学案：直线与圆（含答案）.doc

常考问题11　直线与圆[真题感悟]1．(2021·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，假设直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么k的最大值是________．解析　设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，那么d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.答案　2．(2021·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)假设圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)假设圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以＝2 ，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，那么|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围是.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长．多为B级或C级要求．1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，那么有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，那么有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝；对于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比方，根据“在两坐标轴上的截距相等〞这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．热点一　直线和圆的方程【例1】 假设一三角形三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，那么能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．解析　结合题意，易得三角形的三个顶点分别是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，即圆的直径为，圆心坐标为，故其方程为(x－2)2＋2＝.答案　(x－2)2＋2＝[规律方法] 求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用．【训练1】 (2021·南通模拟)过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆＋＝1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为________．解析　易得椭圆＋＝1的外切矩形的四个顶点(±4，±3)必在该定圆上，那么该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为x2＋y2＝25，可以验证过该圆上除点(±4，±3)的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆＋＝1的交点都各只有一个；故圆方程x2＋y2＝25.答案　x2＋y2＝25热点二　直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)．(1)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；(2)假设斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交．解　(1)设点P的坐标为(x0，y0)，圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得PC－r＝PC－r，即[(x0－3)2＋(y0＋2)2]－4＝[(x0＋m)2＋(y0＋m＋5)2]－(2m2＋8m＋10)，化简得x0＋y0＋1＝0，因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为(0，－1)或(－1,0)；(2)依题意可设直线l的方程为：y＋2＝k(x－3)，k＞0，化简得kx－y－3k－2＝0，那么圆心C2(－m，－m－5)到直线l的距离为，又圆C2的半径为，所以“直线l与圆C2总相交〞等价于“∀m≠－3，＜〞，即＜ ，①记y＝，整理得(y－2)m2＋2(3y－4)m＋9y－10＝0，当y＝2时，m＝－2；当y≠2时，判别式Δ＝[2(3y－4)]2－4(y－2)(9y－10)≥0，解得y≥1；综上得y＝，m≠－3的最小值为1，所以①式⇐＜1⇔k＞0，即证．[规律方法] 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．【训练2】 平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.(1)求圆O的方程；(2)假设直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，假设直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由．解　(1)因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为，所以圆O的半径为 ＝，故圆O的方程为x2＋y2＝2.(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，由直线l与圆O相切，得＝，即＋＝，DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(3)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，那么N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，直线MP与x轴交点，m＝，直线NP与x轴交点，n＝，mn＝·＝＝＝2，故mn为定值2.热点三　直线、圆与其他知识的交汇【例3】 (2021·南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1,0)，点P，B在椭圆上，＝.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？假设存在，求出这两个圆的方程；假设不存在，请说明理由．解　(1)因为＝且A(3,0)，所以BP＝DA＝2，而B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P(1,2)，B(－1,2)所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2)线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1，所以圆C的圆心为(0，－1)，且圆C的半径为r＝，又圆心(0，－1)到直线BD的距离为d＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2＝4.(3)假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，那么点M一定在y轴上，点N一定段PC的垂直平分线y＝x－1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且PM＝PN.设M(0，b)，那么N(2,4－b)，根据N(2,4－b)在直线y＝x－1上，解得b＝3.所以M(0,3)，N(2,1)，PM＝PN＝，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.[规律方法] 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB＝2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系那么多借助于几何关系进行判定．【训练3】 如下图，以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN＝2时，求直线l的方程；(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解　(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，那么AQ⊥MN.∵MN＝2，∴AQ＝＝1.由AQ＝＝1，得k＝.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴·＝0∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.当直线l与x轴垂直时，得P.那么＝，又＝(1,2)，∴·＝·＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由解得P.∴＝.∴·＝·＝－＝－5.综上所述，·是定值，且·＝－5.备课札记：　 实用文档.。