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202X届高考数学(理科)专题教学案:坐标系与参数方程(含答案).doc

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    • 常考问题21 坐标系与参数方程[真题感悟]1.(2021·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解 因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.2.(2021·江苏卷)在极坐标中,圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解 在ρsin=-中令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC= =1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.[考题分析]高考对本内容的考查主要有:(1)直线、曲线的极坐标方程;(2)直线、曲线的参数方程;(3)参数方程与普通方程的互化;(4)极坐标与直角坐标的互化 ,本内容的考查要求为B级.1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),那么2.直线的极坐标方程假设直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,那么它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:θ=α;(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.3.圆的极坐标方程假设圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ0-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;(2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcos θ;(3)当圆心位于M,半径为r:ρ=2rsin θ.(4)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).圆心在点A(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程为r2=ρ2+ρ0-2ρρ0cos(θ-θ0).4.直线的参数方程经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点,那么t表示有向线段的数量.5.圆的参数方程圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).6.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).(2)双曲线-=1的参数方程为(θ为参数).(3)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).热点一 极坐标方程和参数方程【例1】 (2021·新课标全国Ⅱ)动点P、Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π,d=0,故M的轨迹过坐标原点.[规律方法] 要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程,如:圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线,在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.【训练1】 在极坐标系中,圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解 如图,在ρsin=-中令θ=0,得ρ=1,所以圆C得圆心坐标为(1,0).因为圆C的经过点P,所以圆C的半径PC= =1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.热点二 极坐标方程与直角坐标方程、参数方 程与普通方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.解 (1)设P(x,y),那么由条件知M,由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以AB=|ρ2-ρ1|=2.[规律方法] 解决这类问题一般有两种思路,一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练2】 (2021·无锡调研)曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)求弦AB的长度.解 (1)由ρ=6cos θ得;ρ2=6ρcos θ,∴x2+y2=6x,由θ=(ρ∈R)得:y=x,(2)圆的x2+y2=6x圆心(3,0),半径=3,圆心到直线AB的距离==,∴AB=2 =3.热点三 参数方程与极坐标方程的应用【例3】 曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.解 (1)由可得:A,B,C,D,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,那么S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].[规律方法] 此题的技巧在于根据圆内接正方形的各顶点的极角相差,而极径不变,先得到各点的直角坐标,如果先把圆的方程转化为普通方程,再求各点的坐标就相比照拟麻烦.【训练3】 (2021·苏州调研)曲线C的极坐标方程为ρ=acos θ(a>0).以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t参数).假设直线l与曲线C相切,求a的值.解 曲线C化为直角坐标方程为x2+y2-ax=0,即2+y2=2,直线l的参数方程化为普通方程为x-y-1=0.由题设条件,有:=,∴=a,=1+a(舍去)或=1-a,∴a=2(-1).备课札记:  实用文档.。

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