125全微分方程.ppt

第五节 全微分方程一、 全微分方程及其求法二、 积分因子法三、 一阶微分方程 小结一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法1.1.定义定义: :成立，则称微分方程（成立，则称微分方程（1））若存在一个二元函数若存在一个二元函数为为全微分方程全微分方程使得使得注：判别方法：注：判别方法：当当有一阶连续偏导数时有一阶连续偏导数时是全微分方程是全微分方程在在单连域内单连域内例如例如所以是全微分方程所以是全微分方程. .若若方程（方程（1）是全微分方程，则其通解为）是全微分方程，则其通解为：：（（ 为任意常数为任意常数或或所以是全微分方程所以是全微分方程. .2.2.解法解法: :应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. .或用直接凑或用直接凑全微分的方法全微分的方法. .是全微分方程，是全微分方程，则则方程（方程（1）的解为：）的解为：解解是全微分方程是全微分方程, ,原方程的通解为原方程的通解为例例1 1方法二方法二原方程是全微分方程原方程是全微分方程, ,因为因为所以所以从而从而为为任意连续可微函数而任意连续可微函数而所以所以故故原方程的通解为原方程的通解为解解是全微分方程是全微分方程, ,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例2 2解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合, ,有有例例3 3 求微分方程求微分方程原方程的通解为原方程的通解为二、积分因子法二、积分因子法定义定义: :问题问题: : 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子? ?观察法观察法: : 凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用的积分因子有可选用的积分因子有例例 解方程解方程解解 两边同时除以两边同时除以 得得原原方程的解为方程的解为解解 将方程左端重新组合将方程左端重新组合, ,有有原方程的通解为原方程的通解为可积组合法可积组合法例例4 4 求微分方程求微分方程解解1 1整理得整理得A A 常数变易法常数变易法: :B B 公式法公式法: :例例5 5解解2 2整理得整理得A A 用曲线积分用曲线积分法法: :B B 凑微分法凑微分法: :C C 不定积分不定积分法法: :原方程的通解为原方程的通解为三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程————分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程——一阶线性微分方程一阶线性微分方程————公式或公式或齐次微分方程齐次微分方程——变量代换变量代换思考题思考题方程方程是否为全微分方程？是否为全微分方程？思考题解答思考题解答原方程原方程是是全微分方程全微分方程. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案。