第2章252离散型随机变量的方差与标准差.doc

2.5.2　离散型随机变量的方差与尺(Chi)度差1．理解并把握随机(Ji)变量的方差和尺度差的概念，理解方差、尺度差的意义．(重点)2．把握从命两点分布和二项分布的方差公式，会运用方差的概念及相关公式求随机变量的方差和尺度差．(难点)[根底·初探]教材清算　离散型随机变量的方差与尺度差阅读教材P71～P72“例2〞以上局部，完成以下问题．1．离散型随机变量的方差和尺度差假设离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn那么(xi－μ)2(μ＝E(X))描绘了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值μ的偏离水平，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(此中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)描绘了随机变量X与其均值μ的平均偏离水平，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2.即V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn，此中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V(X)＝pi－μ2计较．X的方差V(X)的算术平方根称为X的尺度差，即σ＝.2．超几何分布和二项分布的方差(1)假设X～0­1分布，那么V(X)＝p(1－p)；(2)当X～H(n，M，N)时，V(X)＝(3)当X～B(n，p)时，V(X)＝np(1－p)．1．以下说法准确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差V(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差V(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解(Jie)析】　①错误(Wu)．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差V(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均水平．③错误．因为离散型随机变量的方差V(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．④准确．由方差的意义可知准确．【谜底】　④2．随机变量ξ，V(ξ)＝，那么ξ的尺度差为________．【解析】　ξ的尺度差＝＝.【谜底】　3．假设随机变量X从命两点分布，且成功概率P＝0.5，那么V(X)＝________，E(X)＝________.【解析】　E(X)＝0.5，V(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.【谜底】　0.25　0.54．一批产物中，次品率为，现持续抽取4次，其次品数记为X，那么V(X)的值为________. 【导学号：29440057】【解析】　由题意知X～B，所以V(X)＝4××＝.【谜底】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记实，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1：　 解惑：　 疑问2：　 解(Jie)惑：　 疑(Yi)问3：　 解惑：　 [小组合作型]方差和尺度差的计较　(1)随机变量X知足V(X)＝2，那么V(3X＋2)＝________.(2)一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被传染，该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，那么V(ξ)等于________．(3)η的分布列为：η010205060P①求η的方差及尺度差；②设Y＝2η－E(η)，求V(Y)．【出色点拨】　(1)应用方差的性质V(aξ＋b)＝a2V(ξ)求解．(2)应用二项分布的方差求解．(3)借助方差的界说和性质求解．【自立解答】　(1)V(3X＋2)＝9V(X)＝18.(2)ξ从命二项分布，ξ～B(10,0.02)，∴V(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.【谜底】　(1)18　(2)0.196(3)①∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，所以V(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴＝8.②法一：随机变量Y的概率分布为：Y－1642484104P∴E(Y)＝－16×＋4×＋24×＋84×＋104×＝16，V(Y)＝(－16－16)2×＋(4－16)2×＋(24－16)2×＋(84－16)2×＋(104－16)2×＝1 536.法(Fa)二：∵Y＝2η－E(η)，V(Y)＝V(2η－E(η))＝22V(η)＝4×384＝1 536.求离散型随机(Ji)变量的方差的类型及方式：(1)分布列型(非两点分布或二项分布)：直接操纵界说求解，详细如下：①求均值；②求方差.(2)分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，详细如下：①假设X从命两点分布，那么V(X)＝p(1－p)；②假设X～B(n，p)，那么V(X)＝np(1－p).(3)未知分布列型：求解时可先借助前提及概率常识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.(4)对于V(X)求V(aX＋b)型，操纵方差的性质求解，即操纵V(aX＋b)＝a2V(X)求解.[再练一题]1．为防止风沙风险，某地当局决议建立防护绿化带，莳植杨树、沙柳等植物．或人一次莳植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是互相自力的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，E(X)＝3，V(X)＝，求n，p的值．【解】　由题意知，X从命二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，V(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，∴p＝，n＝6.方差的应用　甲、乙两弓手在统一前提下进展(Zhan)射击，弓手甲击中环数8,9,10的概率别离为0.2,0.6,0.2；弓手乙击中环数8,9,10的概率别离为0.4,0.2,0.4.用击中环数的数学期望与方差比拟两名弓手的射击水平．【出色(Se)点拨】　别离计较甲、乙两弓手的期望与方差，比拟其巨细，并根据期望与方差的意义作出结论．【自立解答】　设甲、乙两弓手射击，击中环数别离为ξ1，ξ2，E(ξ1)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9.V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)＜V(ξ2)．所以，在射击之前，可以展望甲、乙两名弓手所得的平均环数很接近，均在9环摆布，但甲的环数较集中，而乙的环数较分离．1.均值可以反映随机变量取值的“平均水平〞，是以当均值分歧时，两个随机变量取值的水平可见分晓．2.有时两个随机变量即使均值一样，其取值差别也可能很年夜，此时，我们就要操纵方差来反映随机变量取值的集中水平．由此来描绘两个随机变量的分布，对现实问题作出决议计划判定．[再练一题]2．在例2题设前提不变的前提下，(1)其他敌手的射击成就都在8环摆布，应派哪一名选手参赛？(2)假如其他敌手的射击成就都在9环摆布，应派哪一名选手参赛？【解】　(1)假如其他敌手射击成就都在8环摆布，且甲射击水平更不变，故应派甲．(2)假如其他敌手射击成就都在9环摆(Bai)布，因为乙射击10环的可能性较甲年夜，故应派乙．[探讨(Tao)共研型]均值、方差的综合应用探讨1　A，B两台机床同时加工零件，每消费一批数目较年夜的产物时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求E(X1)，E(X2)．【提醒】　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探讨2　在探讨1中，由E(X1)和E(X2)的值能比拟两台机床的产物质量吗？为什么？【提醒】　不克不及．因为E(X1)＝E(X2)．探讨3　在探讨1中，试想操纵什么指标可以比拟A，B两台机床加工质量？【提醒】　操纵样本的方差．方差越小，加工的质量越不变．　甲、乙两名弓手在一次射击中得分为两个互相自力的随机变量ξ，η，甲、乙两名弓手在每次射击中射中的环数年夜于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率别离为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率别离为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比拟甲、乙的射击手艺．【出色点拨】　(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比拟甲、乙两弓手的射击水平，需先比拟两弓手击中环数的数学期望，然后再看其方(Fang)差值．【自立解(Jie)答】　(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率别离为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列别离为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；V(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；V(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.因为E(ξ)>E(η)，V(ξ)