高数同济167;1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性v定理定理1 1 设函数设函数f(x)和和g(x)在点在点x0连续连续  则函数则函数 在点在点x0也连续也连续  例例1 1 因为因为sin x和和cos x都在区间都在区间(  + + )内连续内连续  所以所以tan x和和cot x在它们的定义域内是连续的在它们的定义域内是连续的  三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的 首页首页>>>>>>Company Logo二、反函数与复合函数的连续性v定理定理2 如果函数如果函数f(x)在区间在区间Ix上单调增加上单调增加(或减少或减少)且连续且连续  那么它的反函数那么它的反函数x f  1(y)在区间在区间Iy {y|y f(x)  x Ix}上上也是单调增加也是单调增加(或减少或减少)且连续的且连续的 所所以以它它的的反反函函数数y arcsin x 在在区区间间[ 1  1]上上也也是是连连续续的的 下页下页 例例2 2 同样同样  y arccos x 在区间在区间[ 1  1]上是连续的上是连续的  y arctan x 在区间在区间(  + + )内是连续的内是连续的  y arccot x 在区间在区间(  + + )内是连续的内是连续的 Company Logo 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性v定理2 如果函数如果函数f(x)在区间在区间Ix上单调增加上单调增加(或减少或减少)且连续且连续  那么它的反函数那么它的反函数x f  1(y)在区间在区间Iy {y|y f(x)  x Ix}上上也是单调增加也是单调增加(或减少或减少)且连续的且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 例2 即： 单调连续的函数有单调连续的反函数.Company Logov定理定理3 3 下页下页 设函数设函数y f[g(x)]由函数由函数y f(u)与函数与函数u g(x)复合而复合而成成  >>>>>>意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例如例如,Company Logo注注: : (1)把定理中的把定理中的xx0换成换成x 可得类似的定理可得类似的定理 提示提示: : 例例3 3 解解 下页下页v定理定理3 3 设函数设函数y f[g(x)]由函数由函数y f(u)与函数与函数u g(x)复合而复合而成成  >>>>>>Company Logo 设函数设函数y f[g(x)]由函数由函数y f(u)与函数与函数u g(x)复合而复合而成成  U(x0) Df o g  若函数若函数 u g(x) 在点在点 x0 连续连续  函数函数 y f(u)在点在点u0 g(x0)连续连续  则复合函数则复合函数y f[g(x)]在点在点x0也也连续连续 下页下页v定理定理4 4 注意注意　　定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.v定理定理3 3 设函数设函数y f[g(x)]由函数由函数y f(u)与函数与函数u g(x)复合而复合而成成  >>>>>>Company Logo 设函数设函数y f[g(x)]由函数由函数y f(u)与函数与函数u g(x)复合而复合而成成  U(x0) Df o g  若函数若函数 u g(x) 在点在点 x0 连续连续  函数函数 y f(u)在点在点u0 g(x0)连续连续  则复合函数则复合函数y f[g(x)]在点在点x0也也连续连续 下页v定理4 例如,Company Logo sin u 当当  