傅里叶变换及反变换课件.ppt

t－－TTfT(t)E……主瓣宽度不变，谱线间隔主瓣宽度不变，谱线间隔，，谱线变密谱线变密T 时域上，周期信号时域上，周期信号非周期信号非周期信号频域上，离散谱频域上，离散谱连续谱连续谱tf(t)E以周期矩形脉冲信号为例，看周期以周期矩形脉冲信号为例，看周期T与谱线间隔的关系与谱线间隔的关系?复习复习§4.4 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 CTFT一一 傅里叶变换的引出傅里叶变换的引出二二 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义三三 傅里叶变换的求解傅里叶变换的求解Continual Time Fourier Transform§4.4 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换一傅里叶变换的引出一傅里叶变换的引出傅里叶正变换傅里叶正变换傅里叶反变换傅里叶反变换记为：记为：F[f(t)]记为：记为：F-1[F(jw)]周期信号周期信号非周期信号非周期信号二傅里叶变换的物理意义二傅里叶变换的物理意义①①：非周期信号可以分解成无穷多个：非周期信号可以分解成无穷多个 的连续和；的连续和；②②：发生在一切频率上，是连续变化的；：发生在一切频率上，是连续变化的；③③：各频率分量的系数：各频率分量的系数 ，本身是无穷小量，，本身是无穷小量， 但但F(jwF(jw) )描述了各频率分量的相对关系，即描述了描述了各频率分量的相对关系，即描述了f(tf(t) )的频率特性；的频率特性；④④：：F(jwF(jw) ) 称为称为““频谱密度函数频谱密度函数””，简称，简称““频谱函数频谱函数””或或““频谱频谱””；；CTFS：：CTFT：：傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛②②在任何有限区间内，在任何有限区间内，f(t)的极大、极小值数目有限；的极大、极小值数目有限；③③在任何有限区间内，在任何有限区间内， f(t)的间断点数目有限的间断点数目有限.Dirichlet条件条件——傅里叶变换存在的充分条件傅里叶变换存在的充分条件三三 傅里叶变换的求解傅里叶变换的求解数学运算数学运算物理含义物理含义例例1：单位冲激信号：单位冲激信号 (t)的频谱的频谱:t (t)(1)0wF[ (t)]10分析：分析： (t)的频谱包含了所有频率分量，且各个频率分量的幅度、的频谱包含了所有频率分量，且各个频率分量的幅度、相位完全相同。

称为相位完全相同称为白色谱例例2 求单边指数衰减信号的频谱求单边指数衰减信号的频谱tf(t)例例3：门信号的频谱：门信号的频谱:tG (t)1周期矩形脉冲的傅里叶级数：周期矩形脉冲的傅里叶级数：非周期门信号的傅立叶变换非周期门信号的傅立叶变换周期矩形脉冲的傅立叶级数周期矩形脉冲的傅立叶级数周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的离散抽样；周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的离散抽样；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络分析：分析：①①包络相同；包络相同；②②T→∞时，周期信号的离散谱时，周期信号的离散谱→非周期信号的连续谱；非周期信号的连续谱；③③信号在时域和频域之间有一种相反的关系信号在时域和频域之间有一种相反的关系即信号在时即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然，时域：非零值的时间范围，时域：非零值的时间范围  频域：频域：F(jw)更集中在频率原点附近更集中在频率原点附近④④  →0，，(1/ )G (t)(t),相应的，频谱相应的，频谱1。

例例4：求矩形频谱的逆傅立叶变换求矩形频谱的逆傅立叶变换常用的傅里叶变换对常用的傅里叶变换对14 14 信号能量与频谱的关系信号能量与频谱的关系12 12 频域卷积定理：频域卷积定理：13 13 时域积分定理：时域积分定理：9 9 时域微分特性：时域微分特性：10 10 频域微分特性：频域微分特性：11 11 时域卷积定理：时域卷积定理：8 8 频移特性：频移特性：7 7 时移特性：时移特性：6 6 时域展缩特性：时域展缩特性：5 5 对称特性：对称特性：4 4 共轭特性：共轭特性：3 3 奇偶特性：奇偶特性：2 2 线性特性：线性特性：1 1 唯一性：唯一性：§4.5 §4.5 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质时域描述时域描述频域描述频域描述1 Fourier1 Fourier变换的唯一性变换的唯一性即：频谱函数与时间信号一一对应即：频谱函数与时间信号一一对应2 2 线性特性线性特性3 3 奇偶特性奇偶特性偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数——时域波形的对称性与频谱函数的关系时域波形的对称性与频谱函数的关系关于关于t关于关于w w即实信号的频谱是共轭对称函数即实信号的频谱是共轭对称函数推论：推论： 若若f(tf(t) )为实信号，则为实信号，则4 4 共轭特性共轭特性或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；或者说，或者说，| |F(jF(jw w)|)|为偶函数，为偶函数， ( (w w) )为奇函数。

为奇函数即实信号的频谱是共轭对称函数即实信号的频谱是共轭对称函数或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；或者说，或者说，| |F(jF(jw w)|)|为偶函数，为偶函数， ( (w w) )为奇函数为奇函数推论：推论： 若若f(tf(t) )为实信号，则为实信号，则4 4 共轭特性共轭特性5 对称特性（互易对称性）对称特性（互易对称性）t (t)(1)0wF[ (t)]10wF[f(t)](2 )0tf(t)=110一一 傅里叶变换的引出傅里叶变换的引出二二 傅里叶变换的物理含义傅里叶变换的物理含义三三 常用的傅里叶变换对常用的傅里叶变换对复习复习§4.4 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 CTFT§4.5 §4.5 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质时域描述时域描述频域描述频域描述复习复习6 时域展缩特性：时域展缩特性：时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展|a|>1|a|<1时域扩展，频域压缩时域扩展，频域压缩解：解：6 展缩特性：展缩特性：tG (t)1例如：例如：磁带放音的例子。

磁带放音的例子这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论信号的脉宽带宽积等于常数的结论通信中，若要压缩信号的持续时间，则信号的带宽就要通信中，若要压缩信号的持续时间，则信号的带宽就要展宽要压缩信号的有效频带，就不得不增加信号的持续时间要压缩信号的有效频带，就不得不增加信号的持续时间一般而言，时域有限，频谱无限，反之亦然一般而言，时域有限，频谱无限，反之亦然7 时移特性：时移特性：物理意义：时域平移，对应频域相移，而幅频特性不变物理意义：时域平移，对应频域相移，而幅频特性不变平移平移w w|F(jw w)10t (t-t0)(1)0t0w wφ(w w)08 频移特性：频移特性：平移平移7 时移特性：时移特性：时域平移，对应频域相移，幅频特性不变时域平移，对应频域相移，幅频特性不变调制调制解调解调变频变频在在w w＝＝0 0附近（低频信号）附近（低频信号）移至移至w w＝＝w w0 0处处在在w w＝＝w w0 0附近附近（高频信号）（高频信号）移至移至w w＝＝0 0处处f(t)的频谱的频谱的频谱的频谱在在w w＝＝w w1 1附近附近 移至移至w w＝＝ w1+w0w1+w0处处F(jw w)F[j(w-ww-w0 0)]8 频移特性：频移特性：平移平移-w w0 0ww0 0( )(2 )通过引入通过引入 函数，周期信号也可以进行傅立叶变换。

函数，周期信号也可以进行傅立叶变换§4.6 周期信号的傅周期信号的傅里叶变换里叶变换9 时域微分特性：时域微分特性：微分特性，在系统的频域分析中很重要微分特性，在系统的频域分析中很重要10 时域卷积定理时域卷积定理意义：意义：(1) 为卷积计算提供了另一种思路；为卷积计算提供了另一种思路；(2)为计算傅里叶变换提供了一种方法为计算傅里叶变换提供了一种方法(4) 为系统的频域分析提供了方法；为系统的频域分析提供了方法；例：求例：求 的频谱系统函数系统函数,或或频率响应（频响）频率响应（频响）时时域域卷卷积积频频域域相相乘乘-   tf(t)(3) 可以推导出时移定理可以推导出时移定理11 频域卷积定理：频域卷积定理：物理意义：物理意义：①①为频谱的计算提供了另一种思路为频谱的计算提供了另一种思路例：求例：求 的频谱10 时域卷积定理时域卷积定理②②可以推导出频移定理可以推导出频移定理14 14 信号能量与频谱的关系信号能量与频谱的关系12 12 频域卷积定理：频域卷积定理：13 13 时域积分定理：时域积分定理：9 9 时域微分特性：时域微分特性：10 10 频域微分特性：频域微分特性：11 11 时域卷积定理：时域卷积定理：8 8 频移特性：频移特性：7 7 时移特性：时移特性：6 6 时域展缩特性：时域展缩特性：5 5 对称特性：对称特性：4 4 共轭特性：共轭特性：3 3 奇偶特性：奇偶特性：2 2 线性特性：线性特性：1 1 唯一性：唯一性：§4.5 §4.5 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质复习复习载波载波调制调制信号信号正弦幅度调制正弦幅度调制相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础。

相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是这就是幅度调制幅度调制其中一个信号称为其中一个信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制信号调制信号卷卷积积相相乘乘时域时域频域频域§4.7 傅里叶反变换傅里叶反变换1 利用傅里叶变换的互易对称性利用傅里叶变换的互易对称性要解决的问题：由要解决的问题：由F(jw w)求求f(t)2 部分分式展开部分分式展开3 利用傅里叶变换性质和常见的傅里叶变换对利用傅里叶变换性质和常见的傅里叶变换对1 利用傅里叶变换的互易对称性利用傅里叶变换的互易对称性求求F(jw)反变换的问题，转变为求反变换的问题，转变为求F(jt)正变换的问题正变换的问题——适合于适合于F(jt)的频谱已知或很容易求解的频谱已知或很容易求解FF2 部分分式展开部分分式展开将将jw w看作一个整体，对看作一个整体，对F(jw w)进行部分分式展开进行部分分式展开——适合于适合于F(jw w)为有理分式的情况为有理分式的情况3 利用傅里叶变换性质和常见的傅里叶变换对利用傅里叶变换性质和常见的傅里叶变换对例：例：1 利用傅里叶变换的互易对称性利用傅里叶变换的互易对称性2 部分分式展开部分分式展开将将jw w看作一个整体，对看作一个整体，对F(jw w)进行部分分式展开。

进行部分分式展开由时移特性，得由时移特性，得1. 求下列信号的的傅里叶变换（求下列信号的的傅里叶变换（a>0)附加作业：附加作业：观察当观察当 a 接近接近 0 时，时域波形和频谱各发生什么变化时，时域波形和频谱各发生什么变化并思考，是否可以利用这一点求出并思考，是否可以利用这一点求出的频谱2. 若若 ，求，求 f(t)3. 作业作业1中的各个函数均是实函数，并且中的各个函数均是实函数，并且x3(t)是实偶函数（即是是实偶函数（即是实函数又是偶函数），实函数又是偶函数），x4(t)是实奇函数（即是实函数又是奇函是实奇函数（即是实函数又是奇函数），观察它们的频谱函数（以及幅度谱和相位谱）数），观察它们的频谱函数（以及幅度谱和相位谱） 各自有什各自有什么特点。