线性代数与空间解析几何复习(哈工大).pdf

线性代数与空间解析几何 复习指导 2 课程基本框架 矩阵 行列式 n 维向量 二次型与二次曲面 特征值 特征向量和相似矩阵 线性方程组 几何向量 3 矩阵是基础基础 行列式和向量是工具工具 线性方程组是阶梯阶梯 相似矩阵和二次型是矩阵的应用应用 4 概念多 代数余子式 伴随矩阵 逆矩阵 初等变换 与初等矩阵 正交变换与正交矩阵 秩 矩 阵 向量组 二次型 等价 矩阵 向量 组 线性组合与线性表示 线性相关与线 性无关 极大线性无关组 基础解系与通 解 解的结构与解空间 特征值与特征向 量 相似与相似对角化 二次型的标准形与 规范形 正定 合同变换与合同矩阵 5 运算法则多 行列式 数字型 字母型 的计算 求逆矩 阵 求矩阵的秩 求方阵的幂 求向量组的 秩与极大线性无关组 向量组线性相关性的 判定 求齐次线性方程组的基础解系 求非 齐次线性方程组的通解 求方阵的特征值与 特征向量 判断与求相似对角矩阵 用正交 变换化实对称矩阵为对角矩阵 亦即用正交 变换化二次型为标准形 6 运算量大 许多题型运算量大 运算繁琐 利用矩阵的初等行 或列 变换 求可逆方 阵的逆 求齐次线性方程组的基础解系和求 非齐次线性方程组的通解 求方阵的特征值 和特征向量 将矩阵相似对角化 以及将二 次型化成标准形等 7 第一章行列式 行列式的定义 了解行列式的概念 行列式的值为一个 数值 理解元素的余子式和代数余子式的概念 行列式的计算 掌握二阶 三阶和四阶行列式的计算 熟悉特殊的高阶行列式的计算 8 第二章矩阵 了解矩阵的概念及与行列式的区别 矩阵的运算 加法 减法 数乘 乘法 方阵的伴随矩阵A AA A A A E 9 方阵的逆 方阵可逆的充要条件 A 0 n 阶方阵A可逆的等价条件 A 0 R A n A的行向量组和列向量组都线性无关 齐次方程组AX O只有零解 存在n阶方阵B使得AB E或BA E 10 求方阵的逆的方法 利用伴随矩阵求逆 A 1 A A 利用矩阵的初等变换求逆 A E E A 1 行 11 解矩阵方程 A为m阶可逆方阵 B为n阶可逆方阵 AX C X A 1C XA C X CA 1 AXB C X A 1CB 1 12 矩阵的秩 理解秩的概念 难点 掌握秩的性质 求矩阵秩的方法 定义法 利用初等变换法 重点 将矩阵用初等变换化成行最简阶梯形 13 第三章几何向量 几何向量 三维向量 的概念 几何向量的运算和坐标表示 加法运算 平行四边形法则 三角形法则 减法运算 数乘运算 线性运算 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 14 向量运算 数量积 a1b1 a2b2 a3b3 向量积 混合积 kbabajbabaibaba bbb aaa kji 122113312332 321 321 15 平面方程 平面方程的一般式 Ax By Cz D 法向量 A B C 平面方程的常用表示形式 点法式 A x x0 B y y0 C z z0 0 三点式 截距式 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 1 c z b y a x 16 直线方程 直线方程的标准式 点向式 方向向量 m n p 直线方程的表示形式 两点式 一般式 参数方程 01 0 01 0 01 0 zz zz yy yy xx xx p zz n yy m xx 000 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA ntyy mtxx 0 0 ptzz 0 17 距离 点 x0 y0 z0 到平面Ax By Cz D 异面直线间距离 222 000 CBA DCzByAx d 21 21 21 ss ss PPd 18 位置关系 平面 1 A1x B1y C1z D1与 平面 2 A2x B2y C2z D2 垂直 A1A2 B1B2 C1C2 0 平行 重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 19 直线 与直线 垂直 m1m2 n1n2 p1p2 0 平行 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx 20 直线与平面 直线 与平面 Ax By Cz D 垂直 平行 mA nB pC 0 直线在平面上 mA nB pC 0 Ax0 By0 Cz0 D p C n B m A p zz n yy m xx 000 21 第四章n维向量 n维向量的定义和运算 n维向量组和矩阵间的关系 向量组线性相关与线性无关的定义 性质 矩阵的秩等于其行向量组的秩 也等于其列 向量组的秩 22 向量组线性相关与线性无关的判定 求向量组的秩和极大 最大 线性无关组 将向量组按列组成矩阵 利用矩阵的初等行变换将其化成行阶梯形 判定 向量组的秩等于矩阵的秩 若矩阵的秩等于其列数 该向量组线性无关 若矩阵的秩小于其列数 该向量组线性相关 行阶梯形矩阵的特异列对应的向量组为该向量组的极 大无关组 23 第五章线性方程组 齐次线性方程组Am nX O解的判定 R A n AX O只有零解 R A r n AX O有 无穷多个 非零解 有n r个线性无关的解向量 AX O解的结构 若R A r n 则AX O的基础解系中有n r 个向量 1 2 n r AX O的通解为 X k1 1 k2 2 kn r n r 24 齐次方程组的求解步骤 1 写出齐次方程组的系数矩阵 2 对系数矩阵利用初等行变换将其化成行最 简阶梯形 3 根据系数矩阵的秩 判定方程组的解的情 况 若系数矩阵的秩r 未知数的个数n 方程组只 有零解 若系数矩阵的秩r 未知数的个数n 方程组有 无穷多个 非零解 有n r个线性无关的解 25 在方程组有非零解时 4 确定自由未知数 非特异列对应的未知数 作为自由未知数 其个数为n R A 将自由 未知数所在项移至等式右端 得同解方程组 5 对自由未知数取值 取n r个n r维线性无 关向量 6 将自由未知数的取值分别代入简化的同解 方程组 求得该齐次线性方程组的一组基础 解系 有n r个线性无关向量 7 最后 写出齐次方程组的通解 26 非齐次线性方程组解的存在性 记A 1 2 n B R A 1 2 n 为非齐次方程组Am nX 的系数矩阵和增广矩 阵 AX 有解 可由向量组 1 2 n线性表示 向量组 1 2 n与 1 2 n 等价 向量组 1 2 n与 1 2 n 等秩 R A R B R A 27 非齐次线性方程组解的判定 R A R A AX 无解 R A R A 1 R A R A n AX 有唯一解 R A R A r n AX 有无穷多个 非 零 解 有n r 1个线性无关的解向量 若A为方阵 则 A 0 AX 有唯一解X A 1 AX 有无穷多解 A 0 28 非齐次线性方程组解的结构 1 若 1 2为非齐次线性方程组AX 的两个 解 则 1 2为其对应的齐次方程组 导出组 AX O的解 2 若 为非齐次方程组AX 的解 而 为 AX 的导出组AX O的解 则 为 AX 的 解 3 若R A R A r0 实对称阵A正定 f 的正惯性指数p n 实对称阵A的特征值全大于零 实对称阵A的各阶顺序主子式Ak 0 46 二次曲面 二次曲面 ax2 by2 cz2 1 椭球面 a b c全大于零 双曲面 a b c中有且仅有两个同号 单叶双曲面 a b c中两个大于零 另一个小于零 双叶双曲面 a b c中两个小于零 另一个大于零 柱面 a b c中有且仅有一个等于零 椭圆柱面 a b c中有且仅有一个等于零 另两个 大于零 双曲柱面 a b c中有且仅有一个等于零 另两个 异号 47 二次曲面 ax2 by2 cz 抛物面 a b c都不等于零 椭圆抛物面 a b c同号 双曲抛物面 a b不同号 马鞍面 xy z是双曲抛物面 二次锥面 ax2 by2 cz2 a b c全大于零 。