中考数学专题复习练习：等腰三角形的判定.doc

例01．如图，在中，，. 求证：. 分析 要证，可证，但它们所在的两个三角形：和不能直接证明全等，必须构造另外的全等三角形. 可作，.解答 作，，垂足分别是E、F. ∵，∴（角平分线上的点到角两边距离相等）. 在和中，∴∴（全等三角形的对应角相等），∴（等角对等边）说明 本题还可以这样考虑：因为AD是中线，所以把AD延长一倍. 这也是常用的作辅助线的方法：倍长中线法. 如下图，延长AD到E，使，连结EC，再证明. 例02．如图，在中，已知BO，CO分别平分和，. 并且已知,. 求：的周长. 分析：由BO、CO平分和，和，可知，与是等腰三角形. 即有，，所以的周长就是AB与AC的和. 解答：∵BO平分（已知），∴（角平分线定义）. 又∵（已知），∴ （两直线平行，内错角相等）∴ （等量代换）. ∴（等角对等边） 同理可证：. ∴ 说明：在三角形中，出现角平分线和平行线就有可能出现等腰三角形. 等角对等边是证明线段相等的重要定理. 当两条线段出现在同一三角形中时，首先要考虑它们所对的角是否相等. 例03．如图，已知：在中，，D是AB上一点，经过D作，E是垂足，并与CA的延长线相交于F. 求证：. 分析：由已知，，可以得到和. 要证，只需证，因为，所以只需证出. 又与分别是与的一个锐角，而它的另一锐角与相等，所以由等角的余角相等，不难得出结论. 证明：在中，（已知），∴ （等边对等角）∵ （已知），∴（垂直定义）在中，（三角形内角和定理），同理，∴ （等量代换）又∵（对顶角相等） ∴（等量代换）∴（等角对等边）例04．如图，在中，已知，，AD是角平分线. 求证：. 分析：线段AC和DC不段AB上，要想证明，应想办法把AC转移到AB上，即把AB分为两部分，其中一部分等于AC，而另一部分等于CD，即采用截取法，在AB上截取，则易证得，由此得，，由已知条件容易看出，∴. 由此可证得本命题. 证明：在AB上截取，连结DE，在和中，∴ ∴ （全等三角形的对应边相等，对应角相等）∵ 是等腰直角三角形（已知），∵ （等边对等角），∴， ∴（等角对等边）∴. 说明：证明一条线段等于另两条线段的和，往往要把一条线段分成两条线段，即采用截取的方法，另外也可以把两条线段接在一起，即采用延长的方法. 本题中，也不妨延长AC到F，使，连结DF，再证明，得出，即. 例05．如图，已知：在中，，，. 求证：. 分析：要证，由图可知只需证. 因为，可知，. 于是可证得. 证明：∵（已知），∴ （直角三角形的两个锐角互余）. ∵（已知），∴（直角三角形的两个锐角互余）∵（已知），∴（等角的余角相等）∵（对顶角相等）∴（等量代换）∴（等角对等边） 说明：（1）当要证的两条线段是一个三角形的两条边时，可考虑证它们所对的角相等，这样就把线段相等转化为证两角相等. （2）此题也可由，，推出只需证明. 就可以. （3）直角三角形斜边上的高是一个在题目中经常出现的重要图形，目前要记住这个图形中的重要结论：如此题图中的，. 例06．如图，已知：在中，. . 求证：AD平分. 分析：要证AD平分. 即要证明，不妨考虑先证，则由等腰三角形不难找出和全等的条件. 证明：∵（已知），∴（等边对等角），又∵（已知），∴（等角对等边）. 即. 在中，∴ ，∴ （全等三角形的对应角相等）即AD平. 说明：由等腰三角形的判定，也可以给三角形全等提供条件. 例07．如图，已知：是等边三角形，D为AC上一点，且，. 求证：为等边三角形. 分析：由已知条件容易证出，则有，，所以根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形可证出是等边三角形. 证明：∵ 是等边三角形（已知），∴ （等边三角形的性质）在和中，∴ ∵ ，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）∴ 是等边三角形（一个角等于的等腰三角形是等边三角形）. 例08．如图，已知：在中，，. 的平分线BD交AC于D，从点C向BD的延长线作垂线CE，垂足为E. 求证：. 分析：由此图不能证得，考虑引辅助线，构造一条线段使它能够等于2CE，且能等于BD，即使用延长法，延长BA，CE交于点F，证明，这一点可通过证明得到. 再证明，这一点可通过证明得到，由此可证得. 证明：延长BA，CE相交于点F. ∵ BD平分（已知），∴ （角平分线定义）∵ （已知），∴ （垂直定义）在和中，∴∴（全等三角形的对应边相等） ∴. 在中，（直角三角形的两个锐角互余），在中，（直角三角形的两个锐角互余）∴（同角的余角相等）又∵（已知），∴（等角对等边）在和中，∴∴（全等三角形的对应边相等）∴ （等量代换）说明：此题中注意辅助线的作法：即延长BA与CE相交于点F. 在实际解题过程中容易犯下这样的错误：即延长CE到F，使，连结A、F，再证明. 这两种作法看似相同，却有本质差别，在后者中，因不知B、A、F是否在同一直线上，所以不能确定图形BEF是否为三角形，所以后者的作法是错误的. 例09．如图，已知：在中，，AD为BC边上的高. 求证：. 分析：CD和BD都在直线BC上，若BD成为CD上的一部分时，只要证明另一部分与AB相等就可以了. 那么在DC上截取，由已知条件易证，因此有，，那么由角之间的条件，可证明，因此此题可证得. 证明：在DC上截取，连结AE. 在和中，∴∴（全等三角形的对应角相等，对应边相等）而（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），又（已知），∴. ∴（等角对等边）. ∴（等量代换）∴ . 例10．如图，已知：在等腰三角形ABC中，AD为底边BC的中线，O为AD上任意一点，CO交AB于E，BO交AC于F，连结EF. 求证：. 分析：要证明，就需证明同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补. 那么因为为等腰三角形，若能证得也是以EF为底的等腰三角形就可以证出，那么怎么证明是等腰三角形呢？由给出条件容易证得，，从而有，. 由此，还可以证明，所以有. 因此就可证明. 证明：∵，AD为底边BC的中线（已知），∴ （等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合）. 在与中，∴≌（SAS），∴（全等三角形的对应边相等，对应角相等）∵（已知），∴（等边对等角），∴，即. 在和中，∴∴（全等三角形的对应边相等）∴，即. ∴（等边对等角）∴ ，同理，因，∴，∴， ∴（同位角相等，两直线平行）. 说明：（1）在证出后，也可由AD是的角平分线，所以，又，从而证明. （2）证比证更简捷些.（3）由本题可知，如果两个等腰三角形的腰都在同一直线上，则它们的底边平行. 已知：如图，AB=AD，∠B=∠D．求证：CB=CD．分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，通常在三角形中求解，需构造一个以 CB、CD为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD．证明：连结BD，在中，（已知）（等边对等角）（已知）即（等角对等边）小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.已知：如图在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120CE⊥AB于D且DE=DC。

求证：△CEB为等边三角形分析：证明等边三角形有推论1，2两个定理依据，因此要寻找定理需要的条件. 证明：∵AC=BC，CE⊥AB于D∴CD平分∠ACB（等腰三角形底边的高平分顶角）∵∠ACB=120（角平分线）在和中（推论2）是等边三角形. 小结：也可由三个角都相等推出△CBE是等边三角形已知：如图△ABC中∠A=2∠B、CD平分∠ACB求证：BC=AC+AD分析：等量关系通常在三角形中寻找，因此经常需要构造三角形对于线段和或差的问题通常通过截长或补短转化为线段间的等量关系证法1：（截长法）在BC上截取CE=CA连结DE∵CD平分∠ACB∴∠1=∠2在△ACD和△ECD中，AD=DEBE=DEAD=BEBC=BE+EC BC=AC+AD证法2：延长CA到E，使AE=BD连结DE由条件推出△CED≌△CBD(SAS)∴CE=CB ∠E=∠B∵∠3=2∠B∴∠3=2∠E∴∠4=∠E∴AE=AD∵EC=AC+AE∴BC=AC+AD小结：对于线段之间倍半关系，常采用“截长补短”等辅助线的添加方法，或构造“倍”，或构造“半”，从而转化为线段间的等量关系. 已知：如图△ABC中∠A=2∠B、CD平分∠ACB。

求证：BC=AC+AD分析：等量关系通常在三角形中寻找，因此经常需要构造三角形对于线段和或差的问题通常通过截长或补短转化为线段间的等量关系证法1：（截长法）在BC上截取CE=CA连结DE∵CD平分∠ACB∴∠1=∠2在△ACD和△ECD中，AD=DEBE=DEAD=BEBC=BE+EC BC=AC+AD证法2：延长CA到E，使AE=BD连结DE由条件推出△CED≌△CBD(SAS)∴CE=CB ∠E=∠B∵∠3=2∠B∴∠3=2∠E∴∠4=∠E∴AE=AD∵EC=AC+AE∴BC=AC+AD小结：对于线段之间倍半关系，常采用“截长补短”等辅助线的添加方法，或构造“倍”，或构造“半”，从而转化为线段间的等量关系. 一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险分析：本题是特殊的实际问题，首先根据题意画出符合实际条件的图形，然后用数学知识来解决因为小岛周围3.8海里内有暗礁，这样要求出小船距小岛的最短距离是大于3.8海里还是小于3.8海里如图所示也就是求出PC的长度即可ABCP解：由题可画图，则AB＝7海里过点P作PC⊥AB，垂足为C.由题中分别在A、B两测得P的方位角可知：∠PAB＝，∠PBC＝∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝∴∠PAB＝∠APB∴PB＝AB＝7在Rt△PBC中，∵∠PBC＝∴PC＝PB＝7＝3.5就是说C点距P只有3.5海里，而小岛P周围3.8海里内有暗礁，所以该船一直向东航行有触礁的危险.小结：在平面上用角度表示方向的问题，是常见的问题.虽然在第一册中已见过一些，在这里还要进一步讲清怎样用角度表示平面内的方向问题。

如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且CE=BD，求证：DF=EF分析：要证DF=EF，其中DF在△BDF中，EF在△CEF中，而△BDF与△CEF不可能全等，这样需添加辅助线，由于辅助线的作法有多种情况，致使本题有多种解法ABEGF12DC543证法1：过D点作DG∥AE交BC于。