最新【创新方案】高考数学理一轮突破热点题型：第7章 第6节　空间向量的运算及空间位置关系.doc

第六节　空间向量的运算及空间位置关系考点一空间向量的线性运算 　[例1]　 (1)如图所示，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简－－＝________；②用，，表示，则＝________.(2)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b的值．[自主解答]　(1)①－－＝－(＋)＝－＝＋＝.②＝＝(＋)，∴ ＝＋＝(＋)＋＝＋＋.(2)2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2, 1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．[答案]　(1)①　②＋＋ 【互动探究】本例中(1)条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．解： ＝＋＝－＋(＋)＝－－＋＝－－，由条件知，x＝，y＝－，z＝－.　　　　　 【方法规律】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．如图所示，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) ＋.解：(1)∵P是C1D1的中点，∴ ＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋AB―→＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴ ＝＋＋＝－a＋b＋BC―→＝－a＋b＋AD―→＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∵ ＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.∴＋ ＝＋＝a＋b＋c.考点二共线、共面向量定理的应用 　　 [例2]　 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝( ＋＋＋)．[自主解答]　(1)证明：连接BG，则 ＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.所以E，F，G，H四点共面．(2)证明：因为 ＝－＝－＝(－)＝.所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知＝，同理＝.所以＝，即EH∥FG，EH=FG，所以四边EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故 ＝(＋)＝＋＝×＋＝( ＋＋＋)．【方法规律】1．证明空间三点P、A、B共线的方法(1) ＝λ (λ∈R)；(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；(3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)．2．证明空间四点P、M、A、B共面的方法(1) ＝x＋y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；(4) ∥ (或∥或∥)．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解：(1)由题知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，∴，，共面．(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.考点三空间向量的数量积及其应用 　[例3]　直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[自主解答]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，由题意知，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2) ＝－a＋c，＝b＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.故异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.【方法规律】空间向量数量积的应用(1)求夹角．设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)．运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题．利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长．解：||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos 120°＋2abcos 120°＝2a2＋b2－2ab.所以|AC1|＝.—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1种意识——基底意识　用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．2种方法——基向量法和坐标法　用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．3个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的　问题　(1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．。