最全面偏微分方程差分方法.docx

学习资料收集于网络，仅供参考第 9 章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程；由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不行能的，经常接受数值方法求方程的近似解；偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是 差分方法 ；差分方法具有格式简洁，程序易于实现，运算量小等优点，特别适合于规章区域上偏微分方程的近似求解；本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法；9.1 椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是 Poisson （泊松）方程2uu 〔 x 22 u2 〕 f 〔 x, y〕,y〔 x, y〕 G（ 9.1 ）G 是 x, y 平面上的有界区域， 其边界 Γ 为分段光滑的闭曲线；当 f 〔 x, y〕 ≡ 0 时，方程（ 9.1 ）称为 Laplace〔 拉普拉斯）方程 ；椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件u 〔x, y〕（ 9.2 ）其次边值条件u 〔x, y〕 n（ 9.3 ）第三边值条件〔 u ku〕 n〔 x, y〕（ 9.4 ）这里， n 表示 Γ 上单位外法向， α 〔x,y〕,β 〔x,y〕,γ 〔x,y〕和 k〔 x,y〕 都是已知的函数， k〔 x,y〕 ≥0；中意方程（ 9.1 ）和上述三种边值条件之一的光滑函数 u〔 x,y〕 称为椭圆型方程边值问题的解；用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解 u〔 x,y〕 在区域 G 的一些离散节点（ xi，yi）上的近似值 ui, j≈〔 xi，y i）；差分方法的基本思想是，对求解区域 G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值；设 G={0< x0, B〔 x, y〕 ≥ Bmin>0, E〔 x, y〕 ≥ 0；引进半节点 x 1i21hxi 1,2y y 1 h利用一阶中心差商公式，在节点（ i, j）处可有2i 1 i 2,12〔 A u〕〔i , j 〕 x x1 [〔 Ah1u〕〔i x1 , j 〕2〔 A u 〕〔i x1 , j〕]2O〔h2 〕1 [ Au〔i1, j 〕u〔i , j 〕 Au〔i, j 〕u〔i1, j 〕 ]O〔 h2 〕h1 i1, jh2 1i 1 , j 1h2 12u 〔i , j 〕u〔i1, j 〕u〔i1, j 〕O〔 h1 〕对 〔 B yxu 〕, y2h1u类似处理，就可推得求解方程（ 9.9 ）的差分方程y[ ai 1, j ui1, j ai 1, j ui1, jai , j1ui , j 1ai , j1ui , j 1ai , j ui , j ]（ 9.10 ）f 〔i ,j 〕,〔i, j 〕 Gh其中ai 1, jai 1, jh 2 〔 A1i1h 2 〔 Ai1, j21 , j2h1 C 2h1 C 2i , j 〕i, j 〕ai , j 1ai , j 1h 2 〔 B22h 2 〔 B1i, j22i, j 1 2h2D i , j 〕2h2D i , j 〕2（ 9.11 ）ai , jh 2 〔 A11i , j2A 1 〕i , j2h 2 〔 B1i, j2B 1 〕i, j2Ei , j明显，当系数函数 A〔 x, y〕= B〔 x, y〕=1, C〔 x, y〕= D 〔 x, y〕= E〔 x, y〕=0 时，椭圆型方程（9.9 ）就成为 Poisson 方程（ 9.1 ），而差分方程（ 9.10 ）就成为差分方程（ 9.6 ）；简洁看出，差分方程（ 9.10 ）的截断误差为O 〔h 2h 2 〕 阶；129.1.2 一般区域的边界条件处理学习资料学习资料收集于网络，仅供参考前面已假设 G 为矩形区域， 现在考虑 G 为一般区域情形， 这里主要涉及边界条件的处理；考虑 Poisson 方程第一边值问题u f 〔 x, y〕, 〔x, y〕 G（ 9.12 ）u 〔x, y〕, 〔x, y〕其 中 G 可 为 平 面 上 一 般 区 域 ， 例 如 为 曲 边 区 域 ； 仍 然 用 两 组 平 行 直 线 ：x=x0+ih1, y=y0+jh2, i , j=0, 1, , 对区域 G 进行矩形网格剖分，见图 9-3 ；假如一个内节点（ i , j）的四个相邻节点（ i+1, j），（ i -1, j ），（ i , j +1）和（ i , j-1 ）属于 G G，就称其为 正就内点 ，见图 9-3 中打“；”号者； 假如一个节点 （i , j）属于 G 且不为正就内点，就称其为 非正就内点 ，见图 9-3 中打“ . ”号者；记正就内 点 集 合 为 GhGh Gh , h， 非 正 就 内 点 集 合 为 h ； 显 然 ， 当 G 为 矩 形 区 域 时 ，h 成立；在正就内点（ i , j ）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式1 12 [u ih11, j2ui , jui 1, j ]2 [ ui , j 1h22ui , jui , j 1 ]f i , j ,〔i, j 〕 Gh（ 9.13 ）在方程（ 9.13 ）中，当（ i, j）点接近边界时，将显现非正就内点上的未知量，因此必需补充非正 就内点处的方程；如非正就内点恰好是边界点，如图 9-4 中D 点，就利用边界条件可取 uD=α 〔D〕对于不是边界点的非正就内点， 如 图 9-4 中 B点，一般可接受如下两种处理方法；a. 直接转移法 . 取与点 B 距离最近的边界点 （如图 9-4 中 E 点）上的 u 的值作为u〔 B〕 的近似值 uB，即 uB=u〔E〕= α〔E〕直接转移法的优点是简洁易行，但精度较低，只为一阶近似；b. 线性插值法 . 取 B 点的两个相邻点（如图 9-4 中边界点。