12生物医学信号处理.ppt

医学信号处理医学信号处理参考教材：刘海龙编著，《生物医学信号处参考教材：刘海龙编著，《生物医学信号处理》，化学工业出版社理》，化学工业出版社 教师：任小梅教师：任小梅豹鞍内隶掂陵绝蛀溺佐瓦夹矣吟锑嫩这雷不拍奖赊仑言嫌屋磨疵闲积涡继1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理1本课程主要内容本课程主要内容一、一、随机信号的特征和描述方法随机信号的特征和描述方法；；二、二、随机信号及线性时不变系统随机信号及线性时不变系统；；三、三、信号检测和信号的参数估计信号检测和信号的参数估计；；四、四、功率谱估计功率谱估计；；五、五、自适应滤波自适应滤波；；六、匹配滤波；六、匹配滤波；七、维纳滤波和卡尔曼滤波；七、维纳滤波和卡尔曼滤波；八、小波变换和小波滤波；八、小波变换和小波滤波；锻衫谈宋询棕真触帝笺歼脆肤乳笑骗型代春雏亮凿晾铲侯吼嘴切菌殿撒赎1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理2第一章第一章 绪论绪论一、生物电现象一、生物电现象二、生物医学信号的特点；二、生物医学信号的特点；二、生物医学信号处理系统框图；二、生物医学信号处理系统框图；拌卉狠级颗词牢婪逸礼浩础豆鱼追浓桑身将栓珠疲朴炼缆拂眶摆驶谩乌弓1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理3•生物电生物电•动作电位动作电位(参见电子稿参见电子稿)图示图示•动作电位连续发放，并与噪声叠加形成医动作电位连续发放，并与噪声叠加形成医学信号。

学信号驻时杰银泼铀肉拉脱鞍汲爷啪挎空乓侦疽郴濒寡判讲禹政索佬嘘堆嗓含拧1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理4生物医学信号的特点•信号弱信号弱•噪声强噪声强•频率低频率低•随机性强随机性强陇嚏恐坷他谓稠泪差菇钮躺路预悍宣问绚榴染僻冯莉痛椭司烟匀己函柿菜1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理5生物子系统生物子系统信号变换子系统信号变换子系统信号放大子系统信号放大子系统信号记录及显示子系统信号记录及显示子系统模数及数模转换子系统模数及数模转换子系统计算机子系统计算机子系统生生物物医医学学信信号号处处理理框框图图罢稚郁隅核份诉蜗贺搁么兵君皋俗寇监叭评塌兹因狼呸俭硼攘享牛馋识侧1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理6第二章第二章 随机信号的随机信号的 特征特征 和和 描述方法描述方法Random signal Representation邱型砂阵帕畸纹柜嗅摸袖迭淤钱倒窖爽地咆猾幽嫁栖旺毯佐类烛填扦旗突1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理7§2.1 §2.1 基本概念基本概念随机过程随机过程：： 随某些参量变化的随机变量称为随机函数。

通常随某些参量变化的随机变量称为随机函数通常将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机信号 自然界中变化的过程可分为两大类：自然界中变化的过程可分为两大类： ————确定性过程和随机过程确定性过程和随机过程确定性过程确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间时间t t的确定的函数来描述的确定的函数来描述随机过程随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间时间t t的确定的函数来加以描述，是随机地随时间变化的的确定的函数来加以描述，是随机地随时间变化的过程缝燕呐臃岗钦边被叹挡择呆钎险籽瑞冶眠童鼻梢栗略浆隆皇经凭他程橇哼1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理82.1.1 随机过程的分类1) 按照时间和状态是连续还是离散来分类：按照时间和状态是连续还是离散来分类： 连续型随机过程连续型随机过程 随机过程随机过程X(t)对于任意时刻对于任意时刻 ，， X(ti)都是连续型都是连续型随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随机过程为连续型随机过程。

机过程为连续型随机过程连续随机序列连续随机序列 随机过程随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这类随机过程为连续随机序列类随机过程为连续随机序列足恬访耪讳排恋隶锑滁罕落券株仓屑鸿糟盐摘落掇前油牛亡夯宽箕梗篱勉1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理9离散随机过程离散随机过程 随机过程随机过程X(t)对于任意时刻对于任意时刻 ，， X(ti)都是离散都是离散型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况离散随机序列离散随机序列 对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字信号庸掂间付妄脑绊刺幌攻仰饼京琉辊蒜固卫贝俄醒逗勿刑议析氖育巩级幻纂1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理10哈父雹贤咙桐竟否柯缴垦吟虾逊夫蜒赋坚豁痉别戚违枫削毅诬板导妈对恢1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理11 2) 按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类同特性进行分类 按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程和按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程和非平稳随机过程。

非平稳随机过程豁荚搽括缴咕丸感畸姿惦峨情呆喻乃爬做殴困距譬钢禾枕掷啃诵裳只擞啡1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理12平稳随机过程平稳随机过程——随机信号的统计特性与开始进行随机信号的统计特性与开始进行统计分析的时刻无关，如白噪声否则，就是非平统计分析的时刻无关，如白噪声否则，就是非平稳随机过程，如脑电信号稳随机过程，如脑电信号平稳随机过程还有平稳随机过程还有弱平稳和强平稳弱平稳和强平稳之分前者只有之分前者只有一、二阶统计特征（如均值、方差、自相关函数、一、二阶统计特征（如均值、方差、自相关函数、功率谱密度等）具平稳特性；后者则任何阶统计特功率谱密度等）具平稳特性；后者则任何阶统计特性都具平稳特性性都具平稳特性平稳随机过程又分为平稳随机过程又分为各态遍历的随机过程各态遍历的随机过程和和一般平一般平稳随机过程稳随机过程蚤纹细症砌赐龚洽能乍植玻赏迹滑宽卯妒橡蒜样瓮康徽争违乾洛嚏谓争淌1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理13各态遍历随机过程各态遍历随机过程——所有样本在固定时刻的统计所有样本在固定时刻的统计特征和单一样本在全时间的统计特征一致，称为各特征和单一样本在全时间的统计特征一致，称为各态遍历随机过程，如投硬币过程；否则就是一般平态遍历随机过程，如投硬币过程；否则就是一般平稳随机过程。

稳随机过程 非平稳生理信号在一段时间内近似平稳，可把非平稳生理信号在一段时间内近似平稳，可把它看成分段平稳的它看成分段平稳的“准平稳准平稳”过程，所以，平稳过过程，所以，平稳过程的分析方法是研究非平稳过程的基础程的分析方法是研究非平稳过程的基础 信号还可以分为信号还可以分为功率信号和能量信号功率信号和能量信号，随机信，随机信号一般属于能量无限、功率有限的功率信号号一般属于能量无限、功率有限的功率信号沤专援膏崭梗蕾缮歌陈纠孤耸庭撑熙缚炸钩申桐蠢由吉纯窗衙吵槽客辣钦1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理142.1.2 随机信号的性质随机信号是普遍存在的随机信号是普遍存在的1、信号中任何一点上的取值都是不能先验确定的随、信号中任何一点上的取值都是不能先验确定的随机变量；机变量；2、信号可以用它的统计平均特征来表征信号可以用它的统计平均特征来表征眩信沿隅掷韵穴邻休惠耻替挨锭舌剂湃吩艇匡律证紫沃羊帆假泊姬眷令椿1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理15§2.2 §2.2 随机信号的表示法随机信号的表示法图中每一条曲图中每一条曲线代表随机信线代表随机信号的一个样本号的一个样本。

每些收贰淳晒辊鹿窜砧毁柴圭摆邪空挠阎榷琳旦庇惋职董鹃鬼惑葫姻咆跟1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理16 为了完成地描述随机信号统计特征需要采用随为了完成地描述随机信号统计特征需要采用随机信号各个时刻取值的高阶概率密度函数，即机信号各个时刻取值的高阶概率密度函数，即 每一时刻一阶概率密度函数每一时刻一阶概率密度函数p(xi,ti) 每一时刻二阶概率密度函数每一时刻二阶概率密度函数p(xi,xj,ti,tj) 每一时刻三阶概率密度函数每一时刻三阶概率密度函数p(xi,xk,xj,ti,tk,tj),等等采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处理计算太繁琐，很少采用理计算太繁琐，很少采用通常用一阶、二阶统计特征描述，如通常用一阶、二阶统计特征描述，如均值、均方、均值、均方、自相关函数、功率谱自相关函数、功率谱等乍歪掺婶放沙蒲辞橡拎匈尖狐监坑霸萤冗郴春锰丘珐艰兴碘涤道违括躯倪1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理17概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随机变量取值的统计特性。

机变量取值的统计特性§2.2.1 概率密度函数随机过程的概率分布函数随机过程的概率分布函数1. 一维概率分布一维概率分布 对于任意的时刻对于任意的时刻t，，X(t)是一个随机变量，设是一个随机变量，设x为任为任意实数，定义意实数，定义 为随机过程为随机过程X(t)的一维分布函数的一维分布函数京继运枷捅妨巴谋捎银靠苛趾预窑艘征茅像颐递贮诫蓟鸥隶簇亥塌妮呕赦1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理18 若若 的一阶偏导数存在，则定义的一阶偏导数存在，则定义 为随机过程为随机过程X(t)的的一维概率密度一维概率密度眠廓灼筷宋戌旧隘周内擒缆适李敬叙肮冕康猾艳聚闲斯致琐息瘩亥猎爸镣1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理192. 二维概率分布和二维概率分布和n维概率分布维概率分布 对于随机过程对于随机过程X(t)，在任意两个时刻，在任意两个时刻t1和和t2可得到两可得到两个随机变量个随机变量X(t1)和和X(t2)，可构成二维随机变量，可构成二维随机变量{X1,X2}，它的二维分布函数，它的二维分布函数 称为随机过程称为随机过程X(t)的的二维概率分布函数二维概率分布函数。

若若 对对x1,x2的偏导数存在，则定的偏导数存在，则定义义 为随机过程为随机过程X(t)的的二维概率密度二维概率密度竖酮志捂狡矽宏飘萎隐碰病钝亮湘澈阁诸巫驾蛆婆拱翘录象躺甄渝绽尤仲1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理20 对于任意的时刻对于任意的时刻t1,t2,…, tn，， X(t1),X(t2),…, X(tn)是是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程程X(t)的的n维概率分布维概率分布，即定义，即定义 为随机过程为随机过程X(t)的的n维概率分布函数维概率分布函数为随机过程为随机过程X(t)的的n维概率密度维概率密度枷膛墟颈讯镭洁牺秉椅沾齐沾榨牲伪作崇脸涉咱蓖懊来柱荐磐施憎纶锌膨1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理21随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的四维联合概率密度的四维联合概率密度路嚷洽骑疆瓶丢沃襄炽署尚件岩停肇潮祖桅鳃刻瞧钥灶遏楔诡杠泉壁罚臣1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理22 概概率率密密度度函函数数完完整整地地表表现现随随机机变变量量和和随随机机信信号号的的统统计计特特性性，，但但是是信信号号经经处处理理后后往往往往很很难难求求其其概概率密度函数。

率密度函数 处处理理后后信信号号也也并并不不需需要要了了解解其其全全部部统统计计特特性性，，这这时时只只需需了了解解随随机机过过程程在在某某一一时时刻刻的的平平均均值值和和实实际际值值相相对对于于这这个个平平均均值值的的分分散散程程度度，，所所以以可可以以引引用随机变量的均值、方差等数字特征用随机变量的均值、方差等数字特征§2.2.2 统计特征量庚哈逮墟船汲憾叁并攫格焦置哆啊厦净拂橱摊厂脂摹九氓虐矢陈牲板旬瞳1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理231. 均值：反映随机过程在各时刻的平均值均值：反映随机过程在各时刻的平均值 对对于于任任意意的的时时刻刻t，，X(t)是是一一个个随随机机变变量量，，将将这这个个随随机机变变量量的的数数学学期期望望定定义义为为随随机机过过程程的的数数学学期期望，记为望，记为mx(t)，，即即 数数数数学学学学期期期期望望望望就就就就是是是是t t t t时时时时刻刻刻刻所所所所有有有有样样样样本本本本的的的的总总总总体体体体均均均均值值值值，，，，当当当当过过过过程程程程平平平平稳稳稳稳时时时时，，，，均均均均值值值值与与与与时时时时间间间间无无无无关关关关，，，，为为为为常常常常数数数数。

如如如如果果果果平平平平稳稳稳稳过过过过程程程程各各各各态态态态遍遍遍遍历历历历，，，，总总总总体体体体均均均均值值值值将将将将等等等等于于于于时时时时间间间间均均均均值值值值，，，，此此此此时时时时均均均均值可根据单样本求得值可根据单样本求得值可根据单样本求得值可根据单样本求得钧腰贬援坏委拥吸瓣尔纶态葛猾札进金斡杜眷灯疑螟氯弗庭族舒广尾漓菇1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理242. 均均方方值值：：即即全全部部样样本本集集合合在在固固定定时时刻刻的的平平均均平平方方值对对各各态态遍遍历历过过程程，，均均方方等等于于时时间间均均方方，，反反映映的的是是随随机信号的平均功率机信号的平均功率砚苯睡猿部险妒踪背够妒指醚劣废啸纠定亿淹匠欺晨仲盯抬卑菲碗巡团爸1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理253. 方差方差 对对于于任任意意的的时时刻刻t，，X(t)是是一一个个随随机机变变量量，，称称该该随随机机变变量量X(t)的的二二阶阶中中心心矩矩为为随随机机过过程程的的方方差差，，记为记为D[X(t)]，即，即羽啸碌汹撩效秃珊狂玉杭种罚惶劝苛吨栖雌筑公融肇包蚕显耘必痈胰绽追1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理26 治员獭洱吁券柿荣本楷攫凌柠万旁馋疵商孙骇巾省萧栽晒口烛蝇碑设夯晾1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理27 数数字字特特征征表表示示单单一一时时刻刻随随机机变变量量的的特特征征，，自自相相关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度。

关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度§2.2.3 自相关函数和协方差函数逆佛货仙介整永动祁景捂按剁溅线旺俘戳但脊辜毯傅那舌撒梆想妄艘其舍1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理28 自相关函数自相关函数——t1时刻随机变量时刻随机变量X(t1)和和t2时刻随机变量时刻随机变量X(t2)乘积的统计均值乘积的统计均值 设设X(t1)和和X(t2)是是随随机机过过程程X(t)在在t1和和t2二二个个任任意意时时刻刻的的状状态态，，pX(x1,x2;t1,t2)是是相相应应的的二二维维概概率率密密度度，，称称它它们们的的二二阶阶联联合合原原点矩点矩为为X(t)的自相关函数，简称相关函数的自相关函数，简称相关函数褒霄诡八毛瘴板佐锅联别绽肪券岭萄胜憾临鹅拾栗跃牺租慧挥杀笔眺格扁1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理29自相关函数的性质：自相关函数的性质：对于平稳随机信号，有：对于平稳随机信号，有：栏囱擒百蓬纫晦琐邹习炽核茧炸标臭律更坯浆艳哼档枕旁峦娩柒宗胳跳氰1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理30自协方差函数自协方差函数——把均值（直流分量）除去后做剩余把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相关函数。

部分的相关函数 设设X(t1)和和X(t2)是随机过程是随机过程X(t)在在t1和和t2二个任意二个任意时刻的状态，称时刻的状态，称X(t1)和和X(t2)的的二阶联合中心矩二阶联合中心矩为为X(t)的自协方差函数的自协方差函数对于平稳随机信号，有：对于平稳随机信号，有：郎腰描能诬馏沥馏炮夺末公括服痈庆点耐秒亩馆肄宠汀梆控死肪镐魄茄涡1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理31当当 时，时，当当 时，时，避湾批挎殆买怪拜讲驻摇挫牟婚斧输恿忍啊楼螺苗涌耻锁才匿桑涅嘎僳宁1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理32 若若对于任意的对于任意的t1和和t2都有都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是那么随机过程的任意两个时刻状态间是不不相关相关的 若若RX(t1,t2)=0，则称，则称X(t1)和和X(t2)是是相互正交相互正交的绘煮照煽贴嵌拿猿摧布惫繁藤炸汐撅葱庐境水绘守灯寞阿梗频眨烹读仍炮1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理33 若若 则称则称随机过程在随机过程在t1和和t2时刻的状态是时刻的状态是相互相互独立独立的。

的歧储蚤仰著准勤本畴碴伊货剖日崩喷抚捌幌狗独槽篙流务喉苗投麓绿痘榆1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理34§2.2.4 互相关函数和互协方差 有有时时需需要要同同时时观观察察几几个个信信号号当当研研究究几几组组随随机机信信号号的的相相互互关关系系时时，，需需要要采采用用联联合合统统计计特征来描述特征来描述 广广义义联联合合平平稳稳——如如果果二二维维联联合合概概率率密密度度函函数数f(x,y,t1,t2)不不依依赖赖于于时时间间原原点点的的位位置置，，只只与与时时间间差差τ=t1-t2有有关关，，则称称此此两两过程程是是广广义联合平合平稳的弯柴零卡具忌邻吉勋磐稼挎乙尊逃丽残杖旦款杜达凯耗姜肇开镰嚼遵涛绢1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理35互相关函数互相关函数——说明两个随机信号说明两个随机信号X、、Y在不在不同时刻取值之间的关联程度同时刻取值之间的关联程度 设有两个设有两个随机过程随机过程X(t)和和Y(t)，它们在任意，它们在任意两个时刻两个时刻t1和和t2的状态分别为的状态分别为X(t1)和和Y(t2)，则，则随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的互相关函数定义为的互相关函数定义为互相关函数描述一个信号的取值对另一个信互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依赖程度。

号的依赖程度蚤绎玫皋靴围刚埋霞缆渊聋篆罪吟料鞘肺硫拿腿篮劈哺陕攀莽阮锦蚜箍婿1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理36互协方差函数互协方差函数——从信号从信号X和和Y中去掉均值再中去掉均值再做互相关函数，所得结果称为互协方差函数做互相关函数，所得结果称为互协方差函数 定义两个随机过程的互协方差函数为定义两个随机过程的互协方差函数为骨诀唆骤弯鉴谜惧痕炮穷狞搽踌赐瘁奔屈侠怂党疫涎砷追嫂真谷幽音席使1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理37 若对于任意时刻若对于任意时刻t1和和t2，有，有RXY(t1,t2)=0，则，则称称X(t)和和Y(t)是是正交过程正交过程，此时有，此时有 若对于任意时刻若对于任意时刻t1和和t2，有，有CXY(t1,t2)=0，则，则称称X(t)和和Y(t)是是互不相关的互不相关的，此时有，此时有熔映帜狰诈屡竹吩毒佯眩突舶城渺漱咆舶墒腺笺娥吼粒肪臀检磷于奠挥卢1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理38 当当X(t)和和Y(t)互相独立时，满足互相独立时，满足 则有则有 当当X(t)和和Y(t)互相独立时，互相独立时， X(t)与与Y(t)之间一之间一定不相关；反之则不成立。

定不相关；反之则不成立廖夷息凿牡努音按挺赴潮舒段虎箕奸氦离拽贡俊知壕烃蛆扯技焙蝎妇王酪1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理39§2.3 §2.3 随机信号频域表示随机信号频域表示 随机信号持续时间往往是无限的，且是随机信号持续时间往往是无限的，且是非周期信号，其性质上属于功率信号非周期信号，其性质上属于功率信号 其自相关函数的傅立叶变换是功率谱密其自相关函数的傅立叶变换是功率谱密度；互相关函数的傅立叶变换是互谱密度度；互相关函数的傅立叶变换是互谱密度群瞄君丽膝认税立冲剐傀把涯对鞍登认使眉愚折噬芦蛋骂貉臣炮狐正羊盂1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理40 自相关函数和自谱密度函数构成一对傅立叶变换对自相关函数和自谱密度函数构成一对傅立叶变换对自谱密度函数是从频域对随机过程作统计描述，集中显自谱密度函数是从频域对随机过程作统计描述，集中显示了随机过程的频率结构示了随机过程的频率结构功率谱的性质：功率谱的性质：1、功率谱是非负的；、功率谱是非负的；2、对称性：对于实数信号，有、对称性：对于实数信号，有自功率谱密度函数自功率谱密度函数粘也谋抨炎崎阶层哈吵在娇芝孜觉穴亭母国始晃诵丸亨远惋镶炭以柑发六1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理41互谱密度互谱密度互相关函数的傅立叶变换为互谱密度。

互相关函数的傅立叶变换为互谱密度坎烁震咳盐麓峦簧披日亡赠龄思单玖跟驼意婆嘲途鄂骄舌滨都仆虹械订魂1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理42相干函数：从频域上描述两个随机信号各频率成分相干函数：从频域上描述两个随机信号各频率成分互相关联的程度互相关联的程度性质：性质：γγxy(ω)为实函数，且函数，且|γγxy(ω)|≤1；；奠呸酌勾各屯吟壁免坚菩醇那瘫峭实租寿缉沽酵戴退破惯竖迸攒烁抵甩孺1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理43§2.4 §2.4 离散时间随机信号离散时间随机信号随机信号的采样定理随机信号的采样定理：： 如果随机信号如果随机信号x(t)的功率谱是限带的，其最高频率的功率谱是限带的，其最高频率成分为成分为fmax，当采样间隔，当采样间隔Ts<1/(2fmax)时，则采样值的时，则采样值的加权和加权和可以保证：可以保证：即即 在均方误差意义下在均方误差意义下收敛于收敛于x(t)传把湾起蓝伦焚嫌棵仕巴恩亢滑依哈淫伐宇囚闯铭旋秽只殃鲤限炸刺潦支1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理44数学特征数学特征是时间是时间n的函数（物理意义）：的函数（物理意义）： 1：均值（数学期望）：均值（数学期望） 2：方差：方差 3：均方值：均方值 揩檄轻祥再力郸刻教篓兰奄悔戚聚豫扔绽曲克炒九奎谴焦酿豺末翰瑶疮兰1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理454 自相关函数自相关函数5 自协方差函数：自协方差函数：“集合平均集合平均”，该集合平均是由，该集合平均是由X(n)的无穷样本在相应时刻对应相加（或相乘后再相的无穷样本在相应时刻对应相加（或相乘后再相加）来实现。

加）来实现 姿谭犁烧祥巾状橙鬃敦盟疲对稠态拎溉至沪捍苫宗狞输走蔑荒怯赃绸身堰1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理466 互相关函数互相关函数 7 互协方差函数互协方差函数 如果如果 称信号称信号X和和Y是不相关的是不相关的 可得： 竭侵虹调晋沾瞒挪幽癣哨筐讶邻智骑量硷开露浦美撩除掉坠纂变烘宛家争1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理47平稳随机信号的时域特征表示•一个离散随机信号一个离散随机信号X(n)，如果其均值与时间，如果其均值与时间n无关，其自无关，其自相关函数和的选取无关，而仅和之差有关，那么，我们称相关函数和的选取无关，而仅和之差有关，那么，我们称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号则有：为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号则有：•  均值（数学期望）均值（数学期望） •  自相关函数自相关函数•  方差方差•  均方值均方值•  自协方差函数自协方差函数 • 两个平稳随机信号两个平稳随机信号X(n), Y(n)的互相关函数和互协方差的互相关函数和互协方差函数分别定义为：函数分别定义为：•  互相关函数互相关函数•  互协方差函数互协方差函数荡爷窒谱专坑执舵钞禄艾妥纷毗举蚕掐糜罚位净提雇西淬剩楚疲录置终钙1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理48各态遍历性的平稳随机信号的统计特征 •对对一一平平稳稳随随机机信信号号，，如如果果它它的的所所有有样样本本函函数数在在某某一一固固定定时时刻刻的的一一阶阶和和二二阶阶统统计计特特性性和和单单一一样样本本函函数数在在长长时时间间内内的的统统计计特特性性一一致致，，我我们们则则称称为为各各态态遍遍历历信信号号。

各各态态遍遍历历的的随随机机信信号号X(n)，，其其均均值值、、方方差差、、均均方方值值及及自自相相关关函函数数等等，，均均是是建建立立在在集集合合平平均均的的意意义义上上的的，，如如自自相关函数相关函数•磅贮誊痞勘珍困姐雄虞栅孔撂掺才诫簿柿碾肝第慎拆绕指瓶酥漫门鸥凄住1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理49•为了要精确地求出，需要知道的无穷多个样本，即，这为了要精确地求出，需要知道的无穷多个样本，即，这在实际工作中显然是不现实的因为我们在实际工作中在实际工作中显然是不现实的因为我们在实际工作中能得到的往往是对的一次实验记录由于平稳随机信号能得到的往往是对的一次实验记录由于平稳随机信号的均值与时间无关，自相关函数又和时间选取的位置无的均值与时间无关，自相关函数又和时间选取的位置无关，那么，对平稳信号，可以用一次的实验记录代替一关，那么，对平稳信号，可以用一次的实验记录代替一族记录来计算的均值和自相关函数族记录来计算的均值和自相关函数•设是各态遍历信号的一个样本函数，对的数字特征可重设是各态遍历信号的一个样本函数，对的数字特征可重新定义如下：新定义如下：循瑟俐福琅木客呢燕枕选聪堰熏胡仗容躇费做币约帛娶愈荔伪讹隘虹胆翁1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理50§ 2.5 § 2.5 常见分布常见分布2.5.1 常见的离散型分布一一. 两点分布两点分布 如果随机变量如果随机变量X的分布为的分布为 则称则称X服从两点分布。

当服从两点分布当a、、b分别为分别为0、、1时，称这种分布为时，称这种分布为0－－1分布XPab1－pp瓮苯踌禄诫由疹谴暇黔二唬疾酷统椿叉喂帖谦瓮摸屑骏症蓑兰乡发尊狸女1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理51二二. 二项分布二项分布设随机试验设随机试验E只有两种可能的结果只有两种可能的结果且且将将E独立地重复独立地重复n次，那么在次，那么在n次试验中事次试验中事件件A发生发生m次的概率为次的概率为称为二项分布称为二项分布粟静部庙涛酷慕福峡体姆诣帧斥走它樟汲源宗捏而元贵销穿岔伤挖甫龟癣1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理52三三. 泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,…,且分且分布密度为布密度为则称则称X服从泊松分布服从泊松分布衅桶祝醋建篙躇疡未裕秦垣恬陆左梨碑笛鲸娱岩吸叁眷蚊激屿来萝颅祈侨1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理532.5.2 常见的连续分布一一. 均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X在有限区间在有限区间[a,b]内内取值，且其概率密度为取值，且其概率密度为则称则称X在区间在区间[a,b]上服从均匀分布。

上服从均匀分布侍蛆锌泥江阀样你棉袍让曳眺变涉袱岳集廊兹臆嚏攘疽垫肾糊辖嚷隔浑必1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理54随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为寨敌闪姬施锡诗饶蒲囚臣矽拧扭釜锭谦型夫雨林贡疙上惋借腐密看州泻抑1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理55一维高斯分布一维高斯分布 高斯变量高斯变量X的概率密度为：的概率密度为：二二. 高斯分布概率分布函数概率分布函数蔗空画丰伸掠弊体茎幻吻疑炔楚苑庄肃阂困岗奢雌帖庆枚鸿淄醒喧诈背掀1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理56 对高斯变量进行归一化处理后的对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量即随机变量，称为归一化高斯变量即令令 ，归一化后的概率密，归一化后的概率密 度为度为鸭衙匠技燕太煌娃然泥值烦义烫惮扑义魄炊禄正战镶沽富描双邻摧觅蔑朵1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理57 服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量的高斯变量X，其特征函数为，其特征函数为 服从服从 的高斯变量的高斯变量Y，其特，其特征函数为征函数为春拐钥拍械妄霍辣穆桂褥午贱嘉万些写费拎刘同痔臼嫉咕超蔷尘南胡哎声1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理58 （（1））已知已知X为高斯变量，则为高斯变量，则Y=aX+b（（a,b为常数）也为高斯变量，为常数）也为高斯变量，且且特点：特点： （（2）高斯变量之和仍为高斯变量。

高斯变量之和仍为高斯变量垒定缩皖粤承呀狂扫呵梧男大苞老逾垄卞悍目呛阜缸麓雌践隙剁颠诸雨廊1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理59 推广到多个互相独立的高斯变量，其推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布即和也是高斯分布即 若若Xi服从服从 ，则其和的数学期，则其和的数学期望和方差分别为望和方差分别为缕憋恨桥气行鹿挥漓眩儿苑鸭琴烩另译享栖胀轩框肋霍咳扩峙阂秒做昌绸1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理60 若若有大量相互独立的随机变量的和有大量相互独立的随机变量的和 其中每个随机变量其中每个随机变量Xi对总的变量对总的变量Y的影响的影响足够小时，则在一定条件下，当足够小时，则在一定条件下，当 时，随机变量时，随机变量Y是服从正态分是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布无关布的，而与每个随机变量的分布无关3）中心极限定理）中心极限定理 结论：任何物理过程，如果它为许多独立作结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。

用之和，那么这个过程就趋于高斯分布谩蛇猛族衣付皮巡搬蛤涣彝殴艰漱宽岩厩摆丽凛关叮痔蛛漳味漂蛋刀抖打1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理61三三. 分布分布 1) 中心中心 分布分布 若若n个互相独立的高斯变量个互相独立的高斯变量X1, X2,…, Xn的数学期望都为零，方差为的数学期望都为零，方差为1，它们，它们的平方和的平方和 的分布是具有的分布是具有n个自由度的个自由度的 分布制郡巳镀痪凛春佳获像雹壁执吼貌未拿设肾嫌仍乘削斌亿约凉喧娟程犊元1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理62其概率密度为其概率密度为贫存捎优掣瓜载校赌最禾喂裴鲤丫窘绳灾薪箍逃覆翱辫爪魂饯雪埋幅单畦1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理63 当互相独立的高斯变量当互相独立的高斯变量Xi的方差不是的方差不是1，而是，而是 时，时，Y的概率密度为的概率密度为 性质：性质：两个互相独立的具有两个互相独立的具有 分布分布的随机变量之和仍为的随机变量之和仍为 分布，若它分布，若它们的自由度分别们的自由度分别为为n1和和n2，其和的自，其和的自由度为由度为n= n1+n2。

峪吟朔跪缔朵棺沟瘦诣柏仲奠殆唇丰资缉毛虫焉梳迎殷赛晃峨图指误祷物1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理642) 非中心非中心 分布分布 若互相独立的高斯若互相独立的高斯变量变量Xi(I=1,2,…,n)的方差为的方差为 ，数学期望为，数学期望为 ，则，则 为为n个自由度的非中心个自由度的非中心 分布峦完划陀骗召栈挞址辑颁牟廷刀匠仍暑谷卡峭圭预耶距溺蒸周墟衷补把纺1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理65其概率密度为其概率密度为 称为非中心分布参量称为非中心分布参量 哪斋步审绅痈咸甲仕特轰牵拔嘛崩落圃奈阜鹊郸韩椭障固钦汹挫霄醋谊呀1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理66例例2. 1 随机相位正弦序列式中式中A,f均为常数，均为常数，Φ是一随机变量，在是一随机变量，在0~2π内服从均匀分布，即内服从均匀分布，即 显显然然，，对对应应Φ的的一一个个取取值值，，可可得得到到一一条条正正弦弦曲曲线线（（因因为为Φ在在0~2π内内的的取取值值是是随随机机的的，，所所以以其其每每一一个个样样本本x(n)都都是是一一条条正正弦弦信信号号））。

求求其其均均值及其自相关函数，并判断其平稳性值及其自相关函数，并判断其平稳性 似霖揣优尝壮账妇泵极揣卒榜睬磁靳笑听琵郴楷韦揖淀仔骤壹汾泪枪资横1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理67解解 由定义，由定义，X(n)的均值和自相关分别是：的均值和自相关分别是：甩吏偷韦孩烃畸逾谈磷磷承耀起里击雪筋怨宠硒蔑遣妓畜沛扁韩瞩败慎墒1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理68由于由于及及所以随机相位正弦波是宽平稳的所以随机相位正弦波是宽平稳的挽荡圈鲜多邢掣蔗犀币挥盈逊摇核达护抽豹宴唱泼诣颁挚岩营冻政磕鸽峰1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理69例例2. 2 随机振幅正弦序列如下式所示：式式f中为常数，中为常数，A为正态随机变量，为正态随机变量，A：：N(0,σ2) ，试求，试求X(n)的均值、自相关函数，并讨论其平稳的均值、自相关函数，并讨论其平稳性解解 : 均均值值对对于于给给定的定的时时刻刻n，，为为一常数，所以一常数，所以掐伐动赦患帘盅户腑兵茸殖吁靴烫偶责象汽祈虱贺庶盖叹定胃待薄陡假组1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理70自相关函数自相关函数由此可以看出，虽然X(n)的均值和时间无关，但其自相关函数不能写成的形式，也即和的选取位置有关，所以随机振幅正弦波不是宽平稳的。

萎含糖母频何矫啮松狡继胚挽颜芯魔妒岩酞思婿脑棕枢霉企贺募荣况迄练1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理71例例2. 3 讨论例1. 1随机相位正弦序列的各态遍历性不要求） 解解: 对，其单一的时间样本，为一常数，对作时间平均，显然坛紧毗纷庭瞧正双蛋秤哇兄沼宅涕腆禄央婚滴猖档蔼沮院吻姻茅块铡钵尹1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理72由于上式是对n求和，故求和号中的第一项与n无关，而第二项应等于零，所以这和例这和例1. 1按集合平均求出的结果一样，所以随机相位按集合平均求出的结果一样，所以随机相位正弦波既是平稳的，也是各态遍历的正弦波既是平稳的，也是各态遍历的尖者扼涯必络秘骑肪飞熬霸乡姥协俐窗咏垛陇僚竞伶请斧宴邮帧伺悠陆契1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理731、设、设x(n)和和y(n)是有限长序列，是有限长序列，x(n)=[1,0.1,-1,0.1], y(n)=[0.1,1,0.1,-1]，计算这两个序列的线性相关函，计算这两个序列的线性相关函数数和四点循环相关函数和四点循环相关函数循环相关可不做）循环相关可不做）作业作业灿肌衫争院膝警您轮筋痹秉哟右洪荤勘畜骋包召绽歧履墨漏佣尚牧凳燎虱1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理74•2、考虑两个谐波信号、考虑两个谐波信号x(t)和和y(t)，，A、、ωωc c为为正的常数，正的常数，ΦΦ为为均匀分布的随机均匀分布的随机变变量，其量，其概率密度概率密度为为B B是一个零均是一个零均值值和和单单位方差的位方差的标标准高斯随机准高斯随机变变量，其量，其分布函数分布函数为为崖撵紧碧矛造事辛乐衅亿瓷子局升森紫数狮楼斩粱洽挫碳柔辑刀供虚磐研1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理75•求（求（1）） x(t)的均的均值值、方差、自相关函数和自、方差、自相关函数和自协协方方差函数；差函数；• （（2）若）若ΦΦ和和B B相互独立，求相互独立，求x(t)和和y(t)的互相关的互相关函数和互函数和互协协方差函数。

方差函数•3、随机信号、随机信号x(t)具有零均具有零均值值和功率和功率谱谱σσ2 2>0>0，，求求x(t)的自相关函数和功率的自相关函数和功率 4、、实验实验一 藐挟隧死宠萝讹妖猎伊菌旭臼巫衡奶励许伏呆然钦恃财猴箭任涤蛀胃博才1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理76产生随机序列并计算统计特征量产生随机序列并计算统计特征量•在1~39中随机取出4个以上数据，并将这四个数据作为序号，从数据库中取出这个四个序号对应的四个动作电位波形，将这些波形按照幅度从大到小排序；•生成对应四个以上发放率，范围为10~50个/s，并按照大小原理赋给相应选取的动作电位波形•计算动作电位波形平均能量，生成长度为3s，采样率为30KHz，幅度大小为波形平均能量的随机白噪声，并对噪声进行200—10kHz带通滤波有关函数：unidrnd、normrnd阂卢荷黄蔓建莱僻呀征锈汾眩鸳粥屎夷沙兹淀竟猫鳖瓜甩堂点兆津桓亩岭1-2生物医学信号处理1-2生物医学信号处理77。