2021年中考数学专题复习学案--一次函数之找规律.docx

一次函数之找规律可知识点精讲找规律在考试试卷中经常出现一类题型,它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”规律探索型题是根据已知条件或題干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索規律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问題能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力，题型主要是填空题技巧与方法:用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，下面研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法主要思路:观察→类比→归纳→猜想→验证知识要点支撑常见数例规律数列知识点1.数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每个数都叫这个数列的项，记作在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项,……，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作:数列的一般形式:简记作（2）通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式(一)等差数列:相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示，用递推公式表示为an－an－1＝d(n≥2)2、等差数列的通项公式:an＝a1＋(n－1)d3、等差数列的前n和的求和公式: (高斯算法)(二)等比数列:相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减1.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第一项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比:公比通常用字母q表示2．等比数列通项公式为：＝（≠0）3．等比数列前n项和公式一般地，设等比数列，，，…，，…的前n项和是＝＋＋＋…＋，当q≠1时，＝或＝；当q＝1时，＝n（错位相减法）．（三）二阶等差数列的定义及其通项公式：定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列．相应地，d＝（－）－（－）＝＋－2称为二阶等差数列的二阶公差．＝＋（n－1）此即为二阶等差数列的通项．例 2 3 8 17 30 47 68，… 公差d依次相差 1 5 9 13 17 21依次相差 4 4 4 4 4总结一阶数列（等差数列）二阶数列一阶等差数列第n项的规律：＝＋（n－1）d二阶等差数列第n项的规律：＋（n－1）＋，（●）＋（n－1）＋（－＋1）d，（●）一阶数列符合一次函数关系式，二阶数列符合二次函数关系式．练（1）1，2，4，7，11，16，22，…（2）1，3，6，10，15，21，28，…（3）1，3，7，13，21，31，43，…（4）2，2，5，11，20，32，47，…（三）常见的数字变化规律：自然数数列 1 2 3 4 5 ……………………n偶数数列 2 4 6 8 10 12 ……………………2n奇数数列 1 3 5 7 9 ……………………2n－13 5 7 9 ……………………2n＋12 4 8 16 32 ……………………2n1 3 7 15 31 ……………………2n－13 5 9 17 33 ……………………2n＋13 9 27 81 ……………………3n完全平方数列 1 4 9 16 25 36 49 ……………………n2一个数的平方加一个数等于第二个数 2 5 10 17 26………n2＋1一个数的平方减一个数等于第二个数 0 3 8 15 26 35 48 ……n2－1加法数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 斐波那契数列符合规律－ ＋ － ＋ － ＋ …………………（－1）n＋ － ＋ － ＋ － ＋…………………（－1）n+11 0 1 0 …………………………＋（－1）n+10 1 0 1 …………………………＋（－1）n典型例题例1 如图，直线y＝x＋1分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，A长为半径画弧交x轴于点，…，按此做法进行下去，则点的坐标是（ ）A．（15，0） B．（16，0） C．（，0） D．（－1，0）【答案】A．根据题意，利用勾股定理求出A，A，A的长，得到各点坐标，找到规律即可解答．【详解】解：当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝－1；可得A（－1，0），B（0，1），A＝AB＝＝＝；A＝A＝＝2；A＝A＝＝2；（－1，0），（2－1，0），（2－1，0），即（－1，0），（－1，0），（－1，0）；可得＝－1＝16－1＝15．故选A．例2 如图，直线⊥x轴于点（1，0），直线⊥x轴于点（2，0），直线⊥x轴于点（3，0），……直线⊥x轴于点（n，0），函数y＝x的图象与直线、、、…、分别交于点、、、…、；函数y＝2x的图象与直线、、、…、分别交于点、、、…、．如果△O的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作，…，四边形的面积记作，那么＝（ ）A．2017．5 B．2018 C．2018．5 D．2019【答案】A．【分析】根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把n＝2013代入表达式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意，＝2（n－1）－（n－1）＝2n－1－n＋1＝n－1，＝2n－n＝n，∵直线⊥x轴于点（n－1，0），直线⊥x轴于点（n，0），∴∥，且与间的距离为1，∴四边形是梯形，＝（n－1＋n）1＝（2n－1），当n＝2018时，＝（22018－1）＝2017．5，故选：A．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键．例3 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点 的坐标为 ．【答案】（，）．【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“（，），（，），（，），（，）（n为自然数）”，依此规律结合2019＝5044＋3即可找出点的坐标．【详解】当x＝1时，y＝2，点的坐标为（1， 2）；当y＝－x＝2时，x＝－2，∴点的坐标为（－2， 2）； 同理可得：（－2，－4），（4，－4），（4，8），（－8，8），（－8，－16），（16，－16），（16，32），…， ∴（，），（，），（，），（，）（n为自然数），∵2019＝5044＋3，∴ 的坐标为（，），即（，），故答案为（，）．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n＋1（22n，22n＋1），A4n＋2（－22n＋1，22n＋1），A4n＋3（－22n＋1，－22n＋2），A4n＋4（22n＋2，－22n＋2）（n为自然数）”是解题的关键．例5．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C 1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是 ．【答案】（15，16）【解析】【分析】根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．【详解】∵直线y＝x＋1和y轴交于A1∴A1的坐标（0，1）即O A1＝1∵四边形C1OA1B1是正方形∴OC1＝OA1＝1，把x＝1代入y＝x＋1得：y＝2，∴A2的坐标为（1，2），同理A3的坐标为（3，4）…∴An的坐标为（2n－1－1，2n－1），∴A5的坐标是（25－1－1，25－1），即（15，16）故答案为：（15，16）本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键例6．如图，已知点A1的坐标为（0，1），直线l为y＝x．过点A1作A1B1⊥y轴交直线l于点B1，过点B1作A2B1⊥l交y轴于点A2；过点A2作A2B2⊥y轴交直线l于点B2，过点B2作A3B2⊥l交y轴于点A3，…，则AnBn的长是 ．【答案】2 n－1【解析】【分析】由点A1的坐标可得出点B1的坐标，进而可得出A1B1的长，由A2B1⊥l交y轴于点A2结合直线l为y＝x可得出△A1A2B1为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点A2的坐标，利用一次函数图象上点的坐标可得出点B2的坐标，进而可得出A2B2的长，同理，可得出A3B3，A4B4，…．的长，再根据各线段长度的变化可找出变化规律“AnBn＝2 n－1”，此题得解【详解】解：∵点A1的坐标为（0，1）∴点B1的坐标为（1，1），A1B1＝1∵A2B1⊥l交y轴于点A2，直线l为y＝x∴△A1A2B1为等腰直角三角形，∴点A2的坐标为（0，2），点B2的坐标为（2，2），∴A2B2＝2同理，可得：A3B3＝4，A4B4＝8，…，∴ AnBn＝2 n－1故答案为：2 n－1本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，解题的关键是根据线段长度的变化找出变化规律“AnBn＝2 n－1”相似题1．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B2C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为 ．【答案】2 n－1【解析】【分析】解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝。