线性代数习题参考答案.doc

习 题 解 答习 题 一（A）1．用消元法解下列线性方程组：（1）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数．（2）解 由原方程组得同解方程组所以方程组无解．（3）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为．（4）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为．2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（1）．解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：．（2）．解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：．（3）．解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：．（4）．解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：．3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）解 ，得方程组的解为．（2）解 ，得方程组无解．　 （3）解 ，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数．（4）解 ，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数．（B）1．当为何值时，线性方程组有无穷多解，并求解．解 ． 当时，，方程组有无穷多解，且解为．令，得方程组的通解为，其中为任意常数．0.5BAC0.20.70.70.20.30.30.13．（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所示的股份关系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外两家公司控制等等． 3 现设A、B和C公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．试确定各公司的联合收入及实际收入．解 A公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元；C公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.习 题 二（A）1．利用对角线法则计算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式．（4）．解 原式．（5）．解 原式．2．按定义计算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．3．利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式．（4）．解 原式 ．（5），其中．解 原式．4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式 ．（4）．解 将行列式按第一行展开，得，则，所以．5．利用行列式展开定理证明：当时，有．证 将行列式按第一行展开，得，则，所以． （1） 由关于与对称，得．　　　　　　　　　　　　　　 （2） 由（1）与（2）解得．6．利用范德蒙德行列式计算行列式．解 原式．7．设，试求和．解 ； ．8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）解 经计算，得，所以方程组的解为．（2）解 经计算，得，所以方程组的解为．9．试问取何值时，齐次线性方程组有非零解．解 方程组有非零解，则．又，所以．10．试问、取何值时，齐次线性方程组有非零解．解 方程组有非零解，则．又，所以或．（B）1．选择题：（1）设，则( )．（A） （B） （C） （D） 解 原式．选（A）．（2）四阶行列式的值等于（ ）．　　（A） （B）（C） （D） 解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得．选（D）．（3）设线性方程组若，则方程组的解为（ ）．　　（A） （B）　　（C） （D） 解 将方程组写成标准形式：有，所以方程组的解为．选（C）．（4）方程=的根的个数为（ ）．（A） （B） （C） （D） 解 方法一：将按第1列展开，知为3次多项式，因此有3个根．选（C）． 方法二：有3个根．选（C）．2．计算四阶行列式．解 ．3．计算四阶行列式．解 ．4．计算阶行列式．解 ．5．计算五阶行列式．解 方法一：一般地，对于此类阶行列式，将其按第一行展开，得，则，有 ，所以． 方法二：由习题二（A）的第5题，得当时，有，所以．6．计算阶行列式．解 将行列式按第一行展开，得，则 ．7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明能被13整除．证 ．由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除．8．证明:．证 构造5阶行列式，则． （1） 将按第5列展开，得 ． （2）比较（1）与（2）右边的系数，知结论成立．9．证明：当时，齐次线性方程组有非零解．证 方程组的系数行列式，当，即时，方程组有非零解．10．应用题：（1）1；（2）．习 题 三（A）1．下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵．，，，．解 是数量矩阵，也是对角矩阵；、是三角矩阵；都不是．2．设矩阵．（1）计算； （2）若满足，求．解 （1）；（2）．3．设有3阶方阵，，且，，求．解 　　　 ．4．计算下列矩阵的乘积：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式．（4）．解 原式．（5）．解 原式．（6）．解 原式．5．已知矩阵，．求：（1）与； （2）与.解 （1），；（2），．6．求与矩阵可交换的所有矩阵．解 设与可交换的矩阵．由，得令，得，其中为任意常数．7．利用归纳法，计算下列矩阵的次幂，其中为正整数：（1）．解 令，有则．（2）．解 令，有，则．（3）．解 令，有则．8．已知矩阵，，令，求，其中为正整数．解 ．9．若为阶对称矩阵，为阶矩阵，证明为对称矩阵．证 因为，所以为对称矩阵．10．利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：（1）．解 ，又，所以．（2）．解 ，又，所以．（3）．解 ，又，所以．（4）．解 ，又，所以．11．解下列矩阵方程：（1）．解 ．（2）设，其中，．解 由，得．又，则可逆，且．经计算，得．所以．（3）．解 ，则．12．设，且矩阵满足，求矩阵．解 等式两边左乘以，得．又，上式两边右乘以，得，即，所以．13．设都是阶矩阵，证明：可逆的充分必要条件是都可逆．证 可逆都可逆．14．设阶方阵满足，证明可逆，并求．证 由，得，即，所以可逆，且．15．设为阶矩阵，且，证明及都是可逆矩阵．证 由，得及，所以及都是可逆矩阵．16．已知为三阶方阵，且，求：（1）； （2）； （3）．解 （1）原式．（2）原式．（3），有原式．17．设，求．解 ，则．18．（1）设，证明．（2）设，且，求与．证 （1）． （2）由，得，且．又，所以．19．利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积：（1）．解 将矩阵进行如下分块：，则原式．又，所以原式．（2）．解 将矩阵进行如下分块：，则原式．20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）．解 将矩阵进行如下分块：，则．又，所以．（2）．解 将矩阵进行如下分块：，则．又，所以．（3）．解 将矩阵进行如下分块：，则．又，所以．21．设矩阵，利用分块矩阵计算．解 将矩阵进行如下分块：，则．又，所以．22．设矩阵，利用分块矩阵计算．解 将矩阵进行如下分块：，则，所以．23．（1）设，且阶矩阵和阶矩阵均可逆，试证明．　　（2）设矩阵，其中为非零常数，求．证 （1）因为，所以可逆，且．（2）将矩阵进行如下分块： ，则．又，所以．24．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵．（1）．解 ．因为，所以不可逆．（2）．解 ，所以可逆，且．（3）．解 ，所以可逆，且．（4）．解 ，所以不可逆．25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）．解 ，所以．（2）．解 将方程两边转置，得．由，得．26．求下列矩阵的秩：（1）．解 ，所以．（2）．解 ．（3）．解 ．（4）．解 ．27．设矩阵，且，求的值．解 ．由，得．28．设矩阵，问取何值时，使得（1）；（2）；（3）．解 ，有当且时，；当时，；当时，．29．设是矩阵，且的秩为，而，求．解 ，则．30．设为阶矩阵，满足，证明：．证 由，得，所以.又，所以.31．设三阶矩阵，试求与．解 ．因为．32．求解下列线性方程组：（1）解 方程组的系数矩阵．因为，所以方程组只有零解．（2）解 方程组的增广矩阵，所以方程组的解为．（3）解 方程组的系数矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解，其中为任意常数．（4）解 方程组的增广矩阵．因为，所以方程组无解．（5）解 方程组的增广矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解，其中为任意常数．（6）解 方程组的增广矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数．33．试问取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）解 方程组的系数行列式． 当，即且时，方程组有唯一解． 当时，．因为，所以方程组无解． 当时，．因为，所以方程组有无穷多解．（2）解 方程组的系数行列式． 当，即且时，方程组有唯。