计算机数学基础(2)--线性方程组(02-10).doc

《计算机数学基础(2)》 第10章 线性方程组的数值解法(2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 第10章 线性方程组的数值解法 一、重点内容 n高斯顺序消去法 解线性方程组AX＝b, 对增广矩阵 [A┇b ]对增广矩阵[A┇b ]顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵．再回代，从而求得线性方程组的解.要求作初等行变换消元过程中，(k=1,2,…,n-1) 注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性. n高斯列主元消去法 在高斯顺序消去法中，每次消元之前，先确定主元 (k=1,2,…,n-1)把第r行作为主方程，做第k次消元. 将增广矩阵的系数部分化为上三角形矩阵，再回代求得线性方程组的解. n雅可比迭代法(简单迭代法) 解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为 (k=0,1,2,…) n高斯¾¾赛德尔迭代法 解线性方程组AX＝b的高斯¾¾赛德尔迭代法公式为(k=0,1,2,…)n解的存在条件或收敛性定理【定理1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0. 【定理4】(迭代法基本定理) 设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式 X(k+1)＝BX(k)+f收敛的充分必要条件是 其中为迭代矩阵B的特征根．当li为复数时，½li½表示li的模．设线性方程组AX＝b, 令 D＝ ＝ 雅可比迭代格式为：X(k+1)＝B0X(k)＋f其中雅可比迭代矩阵：B0＝－D－1()， f=D－1b 高斯―赛德尔迭代格式为：X(k+1)＝GX(k)＋g其中高斯－赛德尔迭代矩阵：G＝－(D＋)－1，g=(D＋)－1b【定理5】(迭代法收敛的充分条件) 设线性方程组X＝BX＋f，若矩阵B的元素bij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,n)满足 (1) 或 (2) 则对于任意初始向量X(0)及任意f，解此方程组的迭代公式 X(k+1)＝BX(k)+f收敛.【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b， (1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯¾¾赛德尔迭代法收敛； (2) 若A为对称正定矩阵，则高斯¾¾赛德尔迭代法收敛. 注：设矩阵A＝，若 则称矩阵A是严格对角占优矩阵. 二、实例 例1 用高斯顺序消去法解线性方程组 计算过程保留4位小数. 解 [Ab]= 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解 方程组的解为X»(2.574 1,－0.888 9,－0.796 3)T . 例2 用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组 取初始值(1.04,1.30,1.45,1.55)T，求 X(2)，并要求写出迭代公式，计算过程中保留2位小数. 解 本题的迭代格式为 (k=0,1,2,…) 当k=0时，X(0)＝(1.04,1.30,1.45,1.55)T， X(1)=(0.75,0.97,1.20,1.40)T X(2)=(0.81,1.00,1.27,1.40)T 例3* 用超松弛迭代法求解线性方程组 取初始向量X(0)＝(1,1,1,1)T，松弛因子w＝1.46, 求两次迭代值. 解 建立迭代格式 第1次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T 所以，X(1)=(1,1,1.73,0.8029)T 第2次迭代，k=1 所以，X(2)=(1,1.5329,1.6393,0.8274)T 注：本题的精确解为(1.2,1.4,1.6,0.8)T例4 证明以矩阵A＝为系数矩阵的线性方程组，它的雅可比迭代解收敛，而高斯－赛德尔迭代解发散． 证明 线性方程组的系数矩阵为 A＝于是 D＝ D－1＝D ＝ ＝ 雅可比迭代矩阵为 B0＝－＝－ ＝得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛. 高斯－赛德尔迭代矩阵为G＝－ ＝－ ＝ 解得特征根为l1=0，l2,3=2.由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散. 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 . 答案： 解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到 是应填写的内容.2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )． (A) ， (B) (C) (D) 答案：选择(B). 解答：严格对角占优矩阵的定义为 或 可以检验出，只有选择项(B)的矩阵，主对角线元素的绝对值大于同行(列)其它元素绝对值之和． 3. 用列主元消去法解线性方程组 第1次选主元a21=5进行消元后，第2次选主元 . 答案：－2.8 解答： 以上的第2列，绝对值最大的数是－2.8，选为主元． 注：本小题是求主元，与位置无关，所以只列出第1，2列的元素．这不是用主元消去法解线性方程组的标准形式．4. 用雅可比迭代法解线性方程组 的迭代格式中＝ (k=0,1,2,…) 答案： 解答：雅可比迭代法求第k+1次迭代值，只与第k次迭代值有关，迭代格式为(k=0,1,2,…)代入第3个方程的系数即得． 三、练习题1用高斯顺序消去法解线性方程组 2.用高斯列主元消去法解线性方程组 3. 用雅可比迭代法求线性方程组 的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．4. 用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组 取初始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值.5. 用多种方法证明线性方程组 的迭代解收敛性.6. 用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( )(A) 3 (B)4 (C)－4 (D)－9四、练习题答案1. 2.X＝(－4，1，2)T 3. X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T 4. (4.666 67, 7.619 45, 9.047 69)T 5. 提示：可以用定理4，5，6(1)的条件进行证明.思路提示如下. 线性方程组的系数矩阵为：A＝ D= D－1＝, = =方法1：雅可比迭代法 雅可比迭代矩阵B0＝－其特征根是： 方法2：高斯－赛德尔迭代法 高斯－赛德尔迭代矩阵G＝－其特征根是： 方法3：用定理5 构造线性方程组的迭代格式：X(k+1)＝BX(k)+f 其中B＝－，矩阵B各行元素绝对值之和均为，即 用定理6(1)，不难验证，系数矩阵A满足， ，， ，系数矩阵A是严格对角占优矩阵.6. (C).。