新教材）北师大版精品数学资料§2 综合法与分析法2.1 综合法1.了解综合法的思考过程、特点.(重点)2.会用综合法证明数学问题.(难点)[基础·初探]教材整理 综合法阅读教材P8～P9“练习”以上内容，完成下列问题.1.综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法.2.综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：→→→…→判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法.( )(2)综合法证明的依据是三段论.( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.( )【解析】 (1)正确.由综合法的定义可知该说法正确.(2)正确.综合法的逻辑依据是三段论.(3)正确.综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]用综合法证明三角问题 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求证：A的大小为60°；(2)若sin B＋sin C＝.证明：△ABC为等边三角形.【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°.【自主解答】 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)·sin C，得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，所以cos A＝＝，所以A＝60°.(2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°，由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝，sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.因为0°0，y>0，x＋y＝1，求证：≥9.【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明.【自主解答】 法一：因为x>0，y>0，1＝x＋y≥2，所以xy≤.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.法二：因为1＝x＋y，所以＝＝＝5＋2.又因为x>0，y>0，所以＋≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”.所以≥5＋2×2＝9.综合法的证明步骤1.分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等.2.转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.[再练一题]3.将上例条件不变，求证：＋≥4.【证明】 法一：因为x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”，所以≤，即xy≤，所以＋＝＝≥4.法二：因为x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≥2>0，当且仅当x＝y时，取“＝”，＋≥2>0，当且仅当＝时，取“＝”，所以(x＋y)≥4.又x＋y＝1，所以＋≥4.法三：因为x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝y时，取“＝”.[构建·体系] 1.已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，则a12的值是( )A.15 B.30 C.31 D.64【解析】 ∵{an}为等差数列，∴a5＋a11＝a4＋a12.又∵a5＋a11＝16，a4＝1，∴a12＝15.【答案】 A2.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，mβ，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，mβ，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又mβ，所以α⊥β，④正确.【答案】 B3.若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 因为a>0且b2－4ac<0⇒ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立.反之，ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac<0，反例为：当a＝b＝0且c>0时也有ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立，所以“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意实数x∈R恒成立”的充分不必要条件.【答案】 A4.已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________. 【导学号：94210010】【解析】 p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.【答案】 p>q5.(2016·济南高二检测)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…).求证：(1)数列为等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【证明】 (1)∵an＋1＝Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝Sn，∴＝2，又∵a1＝1，∴S1＝1，∴＝1，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由(1)知的公比为2，而an＝Sn－1(n≥2)，∴＝4＝·，∴Sn＋1＝4an.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a，b为非零实数，则使不等式＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A.a·b>0 B.a·b<0C.a>0，b<0 D.a>0，b>0【解析】 ∵＋≤－2，∴≤－2.∵a2＋b2>0，∴ab<0，则a，b异号，故选C.【答案】 C2.平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为( )A.菱形 B.梯形C.矩形 D.平行四边形【解析】 ∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴四边形ABCD为平行四边形.【答案】 D3.若实数a，b满足02，∴2ab<.而a2＋b2>＝.又∵0B是sin A>sin B的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 若A>B，则a>b，又＝，∴sin A>sin B；若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】 C5.若m，。
