追及问题种类及其分析.docx

追及问题种类及其分析湖北应城一中何飞432400两个物体在同一条直线上运动，两物体间的距离发生变化时，可能会出现最大距离、最 小距离或者是相遇的情况，我们把这类问题称为追及相遇问题相向运动的物体，当各自发 生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇，可见相遇问题即是追及问题一、追及问题分析：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界 条件速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）：① •两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距 离；② •若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件；③ .若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二 者速度相等时，二者间距离有一个较大值速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）：① •当两者速度相等时，二者间有最大距离;② .当两者位移相等时，即后者追上前者二、追及问题分类：1. 匀加速追匀速②•分析：能追及且只能相遇一次，相遇时刻「如①.图像：如图1所示图中，两阴影部分面积相等时即相遇。

以后匀加速的速度越来越快，匀速的追不上匀加速的 了，故只能相遇一次③ •交点意义：速度相等（t时刻），此时两物体相距最远,1以后距离逐渐的减小，直到追及为止2. 匀减速追匀速：①.图像：如图2所示②•分析：当卩减二V匀时，a •若As “0，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件,此时只能相遇一次；b •若AsY$o，则不能追及；若（即当As = s时，v i），此时能相遇两次（s0为开始追及时两物体的距离）③.交点意义：速度相等时若还未追及则距离最远（用此可以来判断相遇几次）3.匀速追匀加速:①.图像：如图3所示②.分析：在V二V时，a .若As = s，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件, 力口 匀 o此时只能相遇一次；b •若△sY$°，则不能追及；若山“° （即当AS1 = so时’JY v匀），此时能相遇两次（so为开始追及时两物体的距离）③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离4.匀速追匀减速:①.图像：如图4所示②•分析：能追及且只能相遇一次（即在［时刻'两阴影部分面积相等）③.交点意义：速度相等时（即to时刻），两物体相距最远V5.匀加速追匀减速:①.图像：如图5所示。

②.分析：能追及且只能相遇一次（即在t时刻，两阴影部分1 ul : :心图5 h面积相等）③.交点意义：速度相等时（即时刻），两物体相距最远6.匀减速追匀加速:①.图像：如图6所示这也是避免相撞的临界条件,②.分析：在J二v,时,Asys，则不能追及；若Asas （即当As二s时，v Yv ）,此时能相遇两次（s为0 0 10 力口 减 0开始追及时两物体的距离）③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离三、追及问题方法：在处理追及相遇问题的时候，往往用到的下列方法：1.物理分析法；2.相对运动法；3. 极值法；4.图像法例：火车以速度V匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以1速度v做匀速运动，已知v，司机立即以加速度a紧急刹车，为使两车不相撞，加速2 1 2度a大小应满足什么条件？解析： 方法一（物理过程分析法）：后车刹车后虽然做匀减速运动，但在速度减小到和 v 相等之前，两车的距离仍将逐渐2 减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大，可见，当两车速度相等时 两车距离最近，若后车减速的角速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追 上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为 追上前车，这根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相 等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的 最小加速度。

综合上述分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：1v t - a 12 = v t + s1 2 0 2v - a t = v1 0 2（v - v ）2联立上式可解得：a = 2 + -0 2 s（v - v ）2所以：当a 丄时，两车即不会相撞2s方法二（数学极值法）：要使两车不相撞，其位移关系应为v t - at2 < v t + s1 2 2即：丄at2 + (v - v )t + s > 02 2 1对于位移S和时间t，上面不等式都成立的条件为:A = (v - v )2 - 2as < 02 1(v - v )2由此得：a > 2 + -2s(v - v )2所以：当a ＞七一时，两车即不会相撞方法三(相对运动法):以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速为vo -笃-牛加速度为a的匀减速直v 2线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s＜ s，则不会相撞由s=艾得s' = (v1 - v2)2 < s 得: a > (v2 - v1)22a 2 s(v - v )2所以：当a ＞匕一时，两车即不会相撞方法四(图像法):作出前后两车的v-1图像，如下图7所示，由此图可直观看出：要使两车不相撞，只要满足图中阴影部分的那个三角形的所谓面积s'小于或等于s即可。

在阴影部分的三角形中，由v-1图线的物理意义知:a = tan a，s'= (v - v ) • (v - v ) • 1 1121 2 tana得：s' = 1 匕「1)2所以:2aa >2s(v - v )2 所以：当a > p-时,两车即不会相撞。