近五年全国高中数学联赛选编函数集合2.docx

近五年全国高中数学联赛选编——函数、集合1. （2021 年 一试 1）函数f 〔 x〕x 5 243x 的值域是 .[ 3, 3]提示：易知f 〔x〕 的定义域是5,8 ，且f 〔 x〕 在5,8上是增函数，从而可知f 〔 x〕 的值域为[ 3, 3] .2. （2021 年 一试 5） 函数f 〔 x〕a2 x3a x2〔 a0, a1〕 在区间 x[ 1,1] 上的最大值为 8，就它在这个区间上的最小值是 .解：令 a xy, 就原函数化为g 〔 y〕y 2 3y2 , g 〔 y〕 在 〔3 ,+ 〕2上是递增的 .当 0 a所以1时， y[ a, a1 ] ,g〔 y〕maxa 2 3a 1 2 8a 1 2 a 1 ，2当 a 1时， y[a 1, a] ，g 〔 y〕min〔 1 〕 2 3 1 2 1 ；2 2 4g〔 y〕maxa 2 3a 2 8a 2 ，所以综上 f〔x〕 在 xg 〔 y〕 [ 1,1] 上的最小值为min1.42 2 3 2 1 2 1 .42.（2021 年 一试 9）已知函数求 a 的最大值 .f 〔 x〕ax 3bx2cx d 〔a0〕 ，当 0 x1时，f 〔x〕1，试解法一：所以f 〔x〕3ax 22bxc, 由3af 〔0〕f 〔 1 〕 2f 〔1〕2 f 〔0〕c,3 a b43a 2b2 f 〔1〕c, 得c4 f 〔1 〕 .23 a 2 f〔0〕2 f 〔1〕4 f 〔 1〕22 f 〔0〕2 f 〔1〕4 f 〔1 〕 8 ，2所以 a8. 又易知当3f 〔 x〕8 x3 4 x 23x m （ m 为常数）满意题设条件，所以 a 最大值为 8 .3解法二 ： f〔 x〕3ax22bxc . 设 g 〔x〕f 〔 x〕1 ，就当 0 x1 时， 0g 〔 x〕 2 .设 z 2 x1 ，就 xz 1 , 12z 1.h〔 z〕g 〔 z 1〕 23a z2 43a 2b z 3a 2 4b c 1.简单知道当即1 z 1 时，0h〔 z〕2,0h 〔 z〕2 . 从而当1 z 1 时，0h〔 z〕 h〔 z〕 2 ，20 3a z243a b 4c 1 2 ，从而 3a 4b c 10 , 3a z2 42 ，由 0z2 1知 a 8 .3又易知当f 〔 x〕8 x3 4x 23x m （ m 为常数）满意题设条件，所以 a 最大值为 8 .33. （ 2021 年 一试 1） 设集合 A{ a1 , a 2 , a3 , a4 }，如 A 中全部三元子集的三个元素之和组成的集合为B { 1, 3, 5, 8} ，就集合 A ．解： { 3,0,2,6} . 提示：明显，在 A 的全部三元子集中，每个元素均显现了 3 次，所以3〔a1a 2 a 3a4 〕〔 1〕3 5 815 ，故 a1a2 a3 a 45 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－ 1）＝ 6，5－ 3＝ 2，5－ 5＝ 0，5－ 8＝－ 3，因此，集合 A { 3, 0,2,6} ．4. （2021 年 一试 2） 函数f 〔 x〕x 12的值域为 ．x 1解： 〔 ,2 ] 〔1, 〕2. 提示：设 xtan , 2，且 ，就2 4f 〔x〕1cos tan 1sin1cos1 ．2 sin〔 〕4设 u 2 sin〔〕 ，就42 u 1，且 u0 ，所以f 〔 x〕 1 〔 u, 2 ]2〔1, 〕 ．5. （ 2021 年 一试 9）设函数求 a,b 的值．f 〔 x〕| lg〔 x1〕 | ，实数a, b〔ab〕 满意f 〔 a〕f 〔 b b1 〕 ， f 〔10 a26b 21〕4 lg 2 ，由于 f 〔a〕f 〔 b b1〕 ，所以2| lg〔 a1〕 || lg〔 b 1 b 21〕 || lg〔 1 〕 |b 2| lg〔 b2〕 | ，所以 a 1 b2 或 〔 a1〕〔b 2〕1，又由于 ab ，所以 a 1 b2 ，所以 〔 a1〕〔 b 2〕 1．又由 f 〔 a〕于是| lg〔 a1〕 | 有意义知 0 a1，从而0 a1 b 1 b 2 ，0 a 1 1所以b 2 ．〔10a 6b 21〕1 10〔a 1〕6〔b 2〕6〔b 2〕 10 1 ．从而f 〔10a 6b 21〕| lg[ 6〔b 2〕10 ] |b 2lg[ 6〔b 2〕 10 ] ．又f 〔10a所以b6b 21〕2 b 24lg 2 ，lg[6〔b 2〕10 ]4 lg 2 ，故 6〔b 2〕 10 16 ．解得 b 1 或 bb 21（舍去）．b 2 31把 b 代入 〔a31〕〔 b 2〕1 解得 a 2 ．5所以 a2 ， b 1 ．5 36. （2021 年 一试 3）7. （2021 年 一试 6）x 〔 xp0} ,- 〔 <0〕 ,2 〔z〕*1jl, 6.1•%t.9&YI“f* -* yt•.* *1 Jt/ *〕J. R I:fBiB,f7r + v//*,+J t - › -R [. +zJ ,JZ = + z al. 12- i 〕 8t8B:3:1 JZ- i 〕 f +z〕.PiiC, ri 〔7f— l 〕 〔• +2〕 ,Rf8 • fk8. 〔2021 @ 9〕’ ’ " "“"” " 2 ”‹2’ 2’ e R @ c .+0.〔 i 〕›fe•• R,&6 J •› o, • fi‹@RB.〔2〕@ •a2,@fj•eR,{gy"〔›〕 0,g u @@@@@3Zlf€%‹ z $., f‹〔 l o t•‘Av9ifi4fiIt&g‹ - i › = › - -po,g〔l 〕 = 1 +2u - -@-<0.z〕 ll .i 2, GrJ - j - i.1. P&• R. l‹J *› o #Z6f1m T c T G c T T v s T G • T G • T G • s T • • s c • s c • s • s T • • s c • s c • s v c sm c • G c • G c • Gm c T W c T G c T W c9. 2021 @i 1 〕1. tA - ]2, 0, 1, 3〕 ›@ pr B= [z 〕—x z A, 2 — x2 $ A〕kB710. （ 2021 年 一试 5）11. （ 2021 年 一试 11）Xk• &J4•. b HB&:iH4:.iB W•..,.„„„„„.,....,TXfE4. IJi6@&6a Aan ,a›aBaAa , › . .R6a1. @h‹z. ›l =‹a- a›‹› +a-ltz + ›’〕 +zsr + ‹x-b•lO$1. &tiB4sel.‹ —›‹e. ;2-:>-s›>o. &&4rIV*lm, r〕z t‹ —‹l K *’+‹t*—b—2vl+ •iw +I$•—bl&JiB. ie&k6aI.〔. b〕QPa〔〔o. a〕 I0< b 1, o < < I, s 〔b 2〕 -• ms m G G G • a • • • • • 6 • m66 612. 〔 2021 @ tz, 2〕2. i -+b i :.;x :Sb r; 2 P&A :t:ii:—5B1•i isRAfil7s f. m . J if —n• i.iBQ: B3 1 •.2 a $ b 2 .. x b g + 2 = 5, 3 n - 1, = 2 &. ii$J;k kQ 4 = 5. R a = b = •,iiiH. tB•l* 7t;R m = 2•,k.z A. 4f —m = 5 — 2,〕 .13. 〔 2021 @ t, 33. HiiQ f [x 〕 = z + nix — l 〕& [0,+ • f‹x〕 -- x’ - ax + a s ‘iRnH • iH &axaa ioaaac i—i. 0; .。