初升高暑期数学精品讲义-专题05 分式方程与无理方程的重难点突破（解析版）.docx

专题05分式方程与无理方程 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．一、可化为一元二次方程的分式方程例1、（1）、（2022·广东·深圳市大鹏新区华侨中学模拟预测）小明在记单词过程中发现：“一边写一边读”每分钟记的单词个数比“单纯读”记的个数多50%，“单纯读”记50个单词所用的时间比“一边写一边读”多花40秒钟． 小明两种方式每分钟分别能记多少个单词？若设小明“单纯读”每分钟能记x个单词，根据题意可列方程为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设小明“单纯读”每分钟能记x个单词，则“一边写一边读”每分钟记个，根据““单纯读”记50个单词所用的时间比“一边写一边读”多花40秒钟．”列出方程，即可求解．【详解】解：设小明“单纯读”每分钟能记x个单词，则“一边写一边读”每分钟记个，根据题意得：．故选：D【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．（2）解方程 【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程．【解析】：设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，，都是原方程的解．（3）、（2022·江苏连云港·二模）解方程：．【答案】方程无解【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再解整式方程，然后验根即可求解.【详解】解：去分母，得：x-2+3x=6，移项、合并同类项，得：4x=8，化系数为1，得：x=2，检验：x-2=0，∴原分式方程无解.【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答的关键，注意要检验根.【变式训练1-1】、（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：，故选：B．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．【变式训练1-2】． 用换元法解方程时，设，则原方程可化为（　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】B．【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．【解析】∵设，∴，可转化为：，即．故选B．【变式训练1-3】．（2022·山东潍坊·二模）( 多选题)_如果解关于x的分式方程时出现增根，则m的值可能为（       ）A． B． C． D．1【答案】AB【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：∵分式方程，去分母整理，得，∴；∵原分式方程有增根，则或，∴或；故选：AB．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．二、 可化为一元二次方程的无理方程例2、（1）、（2022·上海·八年级期中）解方程：．【答案】【解析】【分析】移项得出＝1+，两边平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2x﹣8，再两边平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：，∴＝1+，两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2，整理得：2＝2x﹣8，两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，整理，得x2﹣9x+14＝0，解得：x＝2或7，经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，所以原方程的解是x＝7．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．（2）、解方程 【解析】原方程可化为： 两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．【变式训练2-1】、（2020·上海市徐汇中学八年级阶段练习）下列方程中有实数解的是（     ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再判断A选项即可；解出分式方程，再进行验根，即可判断B选项；两边平方，求出有理方程的根，再通过根式的范围检验结果，即可判断C选项；移项后根据算术平方根的非负性即可判断D选项．【详解】解：A．要使有意义，必须且，解得：，当时，，即原方程无解，故本选项不符合题意；B．，方程两边同乘，得，解得：，经检验：是方程的增根，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；C．，两边平方得：，解得：，经检验：不是原方程的解，是原方程的解，所以原方程的解是，故本选项符合题意；D．∵，∴，这与二次根式的结果为非负数矛盾，所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式方程和无理方程的解法，正确解出方程并根据根式和分母的性质进行验根是解题的关键．【变式训练2-2】、（2022·上海市进才实验中学九年级期中）方程＝4的根是_____．【答案】x=5【解析】【分析】两边平方，得3x+1=16，解方程即可．【详解】解：两边平方，得3x+1=16，解得x=5，∵，解得，∴x=5是方程的根．故答案为：x=5．【点睛】本题考查解无理方程，求解步骤是两边先平方，再求解，注意验证根是否符合意义．【变式训练2-3】、（2022·上海嘉定·二模）方程1的解是______．【答案】3【解析】【分析】根据二次根式的性质，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可．【详解】解： ，两边平方得2x﹣5=1，解得：x=3，经检验x=3是原方程的根，故答案为：x=3．【点睛】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算．例3．（2021·上海市延安实验初级中学八年级期中）下列方程中，有实数解的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】逐个对每个方程进行分解解答，通过分析解答每一个方程来确定它们有无实数解．【详解】解：A选项：∵，∴，而为非负数，故没有实数解，故A错误；B选项：∵，∴，，，，（舍去），故B正确；C选项：由分式有意义的条件得，方程两边乘得，x＝2，故方程无实数解，故C错误；D选项：∵，∴，而，∴方程没有实数解，故D错误．故选B．【点睛】本题主要考查分式方程和无理方程．解题的关键是熟练掌握分式方程和无理方程的性质．例4．（2022·上海同济大学附属存志学校八年级期中）解方程（组）：(1)(2)【答案】(1)x=1(2)，，【解析】【分析】（1）移项，两边进行平方，进行去根号，再解整式方程即可；（2）利用因式分解法化简，再代入消元法，化为一元二次方程，再解方程即可．(1)解：两边平方，得两边平方，得∴x1=-2，x2=1又3x+6≥0，x+3≥0，x+1≥0∴x≥-1∴x=1(2)解：由②，得∴x-y=2或x=-y则或解得，，【点睛】本题考查无理方程，以及二元二次方程的求解，掌握方程的解法以及正确地计算能力是解决问题的关键.例5．（2021·上海·复旦二附中八年级期中）解方程：．【答案】，【解析】【分析】设，利用换元法解方程，可得，可得或，据此即可解答．【详解】解析       整理得，设，则原方程变为：，两边都乘得：，，解得或．经检验，都是分式方程的解．当时，，解得；当时，，解得．经检验，是原方程的解．【点睛】本题考查了利用换元法解无理方程，分式方程的解法，注意解分式方程要检验．。