2022年2022年高考数学专题十数列的极限与函数的导数.docx

专题十：数列的极限与函数的导数【考点凝视】极限与导数作为初等数学与高等数学的连接点,新课程卷每年必考,主要考查极限与导数的求法及简洁应用.纵观近年来的全国卷与各省市的试卷,试题呈“一小一大”的布局,“小题”在选择，填空题中显现时,都属简洁题. “大题”在解答题中显现时,极限通常与其它数学内容联系而构成组合题,主要考查极限思想与方法的灵敏应用才能.导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模, 通过求导， 分析函数的单调性与最值, 考查“数形结合” ，“分类争辩” 等数学思想方法的综合运用才能. 从 20XX年各地的高考试卷看, 考生在备考时, 应从以下考点夯实基础,做到以不变应万变：（ 1）从数列或函数的变化趋势明白极限概念,懂得三个基本极限：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1〕 lim cnc〔c 是常数） ,2〕1limn n0 ,3〕lim q n n0〔| q |1〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔2〕 明确极限四就运算法就的适用条件与范畴,会求某些数列和函数的极限.（ 3）明白函数连续的意义,懂得闭区间上连续函数有最大值和最小值.（ 4）明白导数的概念,把握函数在一点处的导数定义,懂得导函数的概念.（ 5）熟记八个基本导数公式, 把握求导的四就运算法就, 懂得复合函数的求导法就, 会求简洁函数的导数.（ 6）把握导数的几何意义与物理意义, 懂得可导函数的单调性， 极值与导数的关系, 强化用导数解决实际问题的才能.【疑难点拨】：1,极限的四就运算法就, 只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用.对 0 ， ， ， 0 型的函数或数列的极限, 一般要先变形或化简再运用法就求极限.0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例如（ 20XX 年辽宁, 14） lim 〔 xx x〕 cos x=可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【分析】这是0 型,需因式分解将分母中的零因子消去,故0〔 xlimx x〕 cos x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载= lim 〔 xx〕 cos x = 2 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2,极限的运算法就仅可以推广到有限个数列或函数, 对于无穷项的和或积必需先求和或积再求极限.商的极限法就,必需分母的极限不为零时才适用.例如：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（ 20XX年广东 ,4 ）lim 〔 12 3 2n 1⋯+2n 〕 的值为⋯（ ）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（ A ）-1 （ B ）0 （ C ）1 （ D ） 12可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【分析】这是求无穷项的和,应先求前2n 项的和再求极限2n 12n =1 ,∴原可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载式= lim 〔nn 〕 =-1 ,应选n 1〔 A〕 .n 1 n 1 n 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3 ,无穷等比数列的公比 q ,当| q | 1 时,各项的和s a1 及重要应用. 例如（ 20XX1 q可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载年上海,4）设等比数列2就 a1an （ nN ）的公比q 1 ,且2lim 〔 a1na3 a5a2 n81 〕 = ,3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【 分 析 】 数 列{ a2 n 1}是 首 项 为a1 , 公 比 是 q1的 等 比 数 列 ,4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ lim 〔 a a aa 〕 = a1= 8 ,解得a =2.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载n 1 3 52 n 11 q 2 3 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载4 ,当且仅当lim f xlim f xa 时,lim f xa , xx0 时 fx 可有定义也可可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0x xox xo可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载无定义.例如以下命题正确选项 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 〔 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 A 〕如 f xx 1 ,就lim f x0 , B 如 f xx 2 2 x,就lim f x2 , 〔C 〕 如可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 1 x 2 x 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1f x ,就 lim f x0 , 〔D〕 如f 〔x〕x 〔x0〕 ,就 limf 〔 x〕 0 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x x 1〔x 0〕 x 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【分析】 〔 A 〕中 x1 无定义,（ C ）中 x 无定义,而 〔D〕limf 〔x〕 0 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载limf 〔 x〕x 01,故 B 是正确的.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载5,函数 f x 在 xx0 处连续是指lim f xf x0,留意：有极限是连续的必要条件,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载连续是有极限的充分条件.x x0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载6,导数的概念要能紧扣定义,用模型说明,记住典型反例.例如y | x |在（ 0 , 0 ）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载处的导数存在吗？为什么？可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【分析】lim | 0x | | 0 |lim | x |1, lim | 0x | | 0 |可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 x x 0 x x 0 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载lim | x |1∴ y| x |在（ 0 , 0 ）处的导数不存在.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 x7,导数的求法要娴熟，精确,须明确（ 1）先化简,再求导, （ 2）复合函数灵敏处理,（ 3）有时要回到定义中求导.8,导数的几何意义是曲线切线的斜率, 物理意义是因变量对自变量的变化率. 导数的应用应尽可能全面，深化,留意把握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法，函数单调性与函数作图， 函数极值与最值求法， 有关方程与不等式问题， 有关近似运算问题， 实际应用题.【经典题例】【例１】求以下数列的极限：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（１）lim 〔l g nnl g 10n3 〕 .（２）limncosn cosnsin nsin n（ 0 ）.2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（３）limn1 [1 〔1na〕 〔1n2a 〕 n〔1 3a〕n〔1 n n1 a〕] .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（４）已知 a0 ,数列 {an } 中意 a1a, an 11a ,如 { an } 的极限存在且大于零,求an可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载limnan 的值.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【例２】求以下函数的极限：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（ 1） lim2x 1 3（ 2） limcosx可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 4 x 2 21 3x 2 cos x22sin x22可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（ 3） lim 〔 2 〕（ 4） lim x〔 x 1x 1〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 1 1 x 1 x x【例３】求以下函数的导函数：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（１）f 〔 x〕 ＝ e x 〔cos xsinx〕 . （２）f 〔x〕＝ cos 2〔ln2 x〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（３）f 〔x〕 ＝ lgx . （４）已知2f 〔 x〕＝ 3x 3x 2 |x |,求 f〔0〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1x 1 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载nnn3n【例４】设 a 1 q q 2q n （ nN ,q 21 ）,A （ C 1a +可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载nnn12C 2aC 3aC na）.（Ⅰ）用 q 和 n 表示An .（Ⅱ）当3 q 1时,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载求 limAnn 的值.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求3 1 qxlim1的取值范畴.可编辑资料 -- 。