离散型随机变量.docx

第二章 离散型随机变量一、教学目的与要求1、 掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用Chi求 事件概率的方法，求随机变量的分布列；2、 熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质；3、 掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联合分布 列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会判定随机变量的 独立性与相关性4、 掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数字特征二、教学重点与难点 重点是分布列的求法，期望与方差的计算 难点是二维随机变量联合分布列的求法，期望与方差性质的应用第二章 离散型随机变量§2.1 一维随机变量及分布列一． 随机变量及其分类1． 概念在 Ch1 里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些 例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系例如袋中有五个球（三白两 黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2 本身就是数量且随着随机试 验结果的变化而变化的又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事 件的概率，若记E=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中， 事件A出现k次”这一事件可以简记为（?=k），从而有P(g=k)= q=1-p并且E的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n，有些初看 起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。

例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定若试验结果出现正面，令n =1,从而｛试验结果出现正面｝= （n =1）;若试验结果出现反面，令n =0,从而｛试验结果出现反面｝= （n =0 ） 为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“ 1”出现的次数了 一般地，若 A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值 发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量E，n，这两个变量取什么值， 在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取 值是随机的，通常称这种量为随机变量从上面例子可以发现，有了随机变量， 至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而 在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质， 所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系 这与数学分析中函数的概念本质上是一致的只不过在函数概念中，f（x）的自变 量x为实数，而随机变量的概念中，随机变量E（3）的自变量为样本点3,因 为对每个试验结果3都有函数£（3）与之对应，所以£（3）的定义域是样本 空间，值域是实数域。

定义1:设随机试验的每一个可能的结果（样本点）3唯一地对应一个实数疋〔， 则称实变量芒〔0）为随机变量，通常用希腊字母氏卜：或大写字母X,Y,Z等 表示随机变量，例1： 一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数占为随机变量，芒的 可能取值为0，1，2……例 2:某一公交车站每隔5 分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时 间，则侯车时间为随机变量芒/的可能取值为°空 ◎例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度芒为随机变量，芒 的可能取值为a例 4：大炮对某一目标射击，弹着点的位臵，如果建立如图所示的坐标系，则弹 着点就可以用一个二维坐标（盘乃）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描 述2．随机变量的分类从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则 该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量， 若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特 殊情形从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，二、一维随机变量及分布列1．定义定义2：定义在样本空间上,取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变 量｛二占⑷）称为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。

讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面：一是随机变量的所有可能取 值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率例 5 ：设袋中有五个球（ 3 个白球 2 个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为 随机变量芒&的可能取值为0, 1, 2 _10加_ 6P^ = l) = ~cT~W色_ J_P(^ = 2) = C[~W[0 1 2丄 _L J_ 习惯上，把它们写成11° 10 1°丿5012163p1010102、分布律如果离散型随机变云可能取值为曲C = 12…） 相应的取值务的概率P述=4、=典称Pi = P世二印）i = 12…为随机变量占的分布列，也称为分布律，简称分布也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量占的分布律:◎ 旳■■■ Qj ■■1円二戶总二吗）Pi Pi■ ■■ Pj ■■ ■的 % …逅 ■■■申1 宀…Pi …丿例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p,令＜ =5次试验中事件 A 出现的次数则 = k） =亡；护严 k=0,l,2,3,4,5于是芒的分布列为0 1 2 3 4 5Piq5 5p^ 10/?2（73 1"站'勿％ P53、分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量占的分布列都具有下述性质: 非负性：1）刃二°心123・・・.规范性：2）产"反过来，任意一个具有以上性质的数列｝都可以看成某一个随机变量的分 布列。

分布列不仅明确地给出了（｛二务）的概率，而且对于任意的实数a

3. 二项分布k=0.1.2...n设随机变量芒的分布列为 p（,k）=CWqi显然 1 ) 0丘k=0.1.2・.・.n严:2) Jt-o juo称随机变量首服从二项分布认为F~b（k;n，p）大家可以发现二点分布是二项分布在 n=1 的情形4. 几何分布在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p, 设试验进行到第 < 次才出现成功云的分布列为p（占=幼=阳I k=1.2…PQ （k=1.2…）是几何级数另戸堺 的一般项因此称它为几何分布记为~ g（k;p）5. 普哇松（Poisson）分布观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等可用相应的变量｛表示，实践表明占的统计规律近似地为P （芒=疋）阳 k=0.1.2…其中兄＞0是某个常数，易验证1）p （芒二疋）＞0 k=0.1.2…=£』■ S _=1也就是说，若首的分布列为P （的氐）k=0.1.2…（兄 >0 ）称芒服从参数为彳的普哇松（Poisson ）分布，记为~ p（k;彳） 在很多实践问题中的随机变量都可以用 Poisson 分布来描述从而使得Poisson 分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。

下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系Th2.1 （Poisson定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为久（与试验总数n有关）若当"Too时叭 TX （兄＞0常数）则有limb（匕热尹』=春召t 耳T8 比！k=0.1.2 …证明：自己阅读 P66这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b（k;n,p） =JP当n和k都比较大时计算量比较大，若此时np不太大（即p较小）那么由Poisson定理就有b（k;n,p）沁■lft -1A-甬八其中芯秤而要计算齐*有专用的Poisson分布表可查例 10.已知某中疾病的发病率为 1/1000，某单位共有 5000 人，问该单位患有这种疾病的人数超过 5 的概率为多大？ 解：设该单位患这种疾病的人数为.则占〜^（5000,1/1000）5000 5000戸（F >为=乞尸疋二疋）=2>3门000,1门000）A-6 A-6其中 b(k;5000,1/1000)= “而> °一而)这时如果直接计算p&n^）计算量较大由于n很大而np=5不対 0.616很大可以利用Poisson定理p（占>^）=1-p（芒兰勿查Poisson分布表得"0 '于是 卩（占>^対1一 0.616 = 0.3開）。

例11.由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数兄=10的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解：设该商店每月销售某种商品占件，月底的进货为a件则当（）时就不会脱销因而按题意要求为0.95J； —e >0.95対 0.9166 <0.95又占~珂0） 幺则查Poisson分布表得s知匕 则 0.9513>0.95于是这家商店只要在月底进货某种商品 15 件（假定上月没有存货）就可以 以 95% 的把握保证这种商品在下个月不会脱销§2.2 多维随机变量联合分布列和边际分布列一、 多维随机变量及其联合分布列1、 定义定义1.设乩空…是样本空间Q上的n个离散型随机变量，则称n维向量 （Fi鸟…①）是上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量对于 n 维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以 将它看成一个向量，则不仅能研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们 之间的联系下面主要讨论二维离散型随机变量设（肚）是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为（◎上J ）i,j=l,2… 尸垃=印月=妇）二兔i,j=l, 2・.・，注意（占=印期=巧）=〔占=务）二巧）。

称珂=陀=呦刀二巧J i,j=i,2…为二维随机变量（芒那）的联合分布列与 一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联。