高考数学总复习精品课件苏教版：第五单元第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数.ppt

第五节第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数基础梳理基础梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式C(α-β):cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β;C(α+β):cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β;S(α+β):sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β;S(α-β):sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β; 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α:sin 2α= 2sin αcos α; C2α:cos 2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α;3. 形如asin α+bcos α的化简asin α+bcos α= sin(α+β),其中cos β= ,β的终边所在象限由a、b的值来确定.题型一题型一 化简求值化简求值【【例1】】求［2sin 50°+sin 10°(1+ tan 10°)］· 的值.分析 50°、10°、80°都不是特殊角，但注意到它们的和60°、90°都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外含有正切函数，切化弦后出现分式，可通过约分以去掉非特殊角.解 原式=（2sin 50°+sin 10° ）· sin 80°=[2sin 50°+2sin 10° ] cos 10°=2 ［sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)］=2 sin(50°+10°)= .(2)根据本题点拨采用“切化弦”是解决本题的关健.它为逆用差角公式与和角公式铺平了道路.在三角函数式化简或求值过程中,还要注意利用和、差角的三角函数公式,它们可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便.学后反思 (1)解决这类三角求值问题的一般规律是:恰当、准确地应用诱导公式、三角函数公式,合理地进行角的变换,使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.举一反三举一反三1. 求sin 50°(1+ ·tan 10°)的值.解析: 原式题型二题型二 给值求角给值求角【例2】已知α、β为锐角，向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c= .若a·b= ,a·c= ,求角2β-α的值.分析 由a·b= ,a·c= 及a,b,c的坐标，可求出关于α、β的三角函数值，进而求出角.解 （1）a·b=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)= ,①a·c=(cos α,sin α)· = cos α- sin α= .②∵0＜α＜ ,0＜β＜ ,∴- ＜α-β＜ .由①得α-β=± ,由②得α= .又∵α、β为锐角，∴β= .从而2β-α= π.学后反思 解决给值求角问题一般分如下三个步骤：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角所在的范围；（3）确定所求角的值.举一反三举一反三2. 已知tan α= ,tan β= ,并且α、β均为锐角，求α+2β.解析：∵tan α= ＜1,tan β= ＜1,且α、β均为锐角，∴0＜α<β＜ ,∴0＜α+2β＜ π.又题型三题型三 给值求值给值求值【例2】 设cos(α-β)=- ,cos(α+β)= ,α-β∈ ,α+β∈ ,求cos 2α,cos 2β.分析 本题“2α”角与条件中出现的两个整体角α+β与α-β之间恰有关系(α+β)+(α-β)=2α,(α+β)-(α-β)=2β,使问题迎刃而解.诸如此类的整体还有α=(α+β)-β,2α=( +α)-( -α),…,应注意在解题中的运用.解 由cos(α-β)=- ,α-β∈ ,得sin(α-β)= .同理，可得sin(α+β)=- .∴cos 2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)= .同理可得,cos 2β=- .学后反思 给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于将“目标角”变换成已知角.若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论.应注意公式的运用、逆用、变形运用，掌握拆角、拼角、配角等技巧.举一反三举一反三3. 已知 解析：题型四题型四 实际应用实际应用【例3】(14分)已知向量m=(sin B,1-cos B),且与向量n=(2,0)所成角为 ，其中A、B、C是△ABC的内角.（1）求角B的大小；（2）求sin A+sin C的取值范围.分析 （1）先利用向量的夹角公式求出角B的余弦值，进而求B的大小.（2）利用三角形的内角和定理将原式表示为一个角的三角函数的运算.解 (1)∵m=(sin B,1-cos B),与向量n=(2,0)所成角为 ,∴cos = ,……………………………2′∴2 -cos B -1=0,∴cos B=- 或cos B=1(舍去)，∴B= .……………………………………………………8′(2)由(1)可得A+C= ,∴sin A+sin C=sin A+sin（ -A）= sin A+ cos A=sin（A+ ）.…………………………10′∵0＜A＜ ,∴ ＜A+ ＜ ,∴sin（A+ ）∈ ,∴sin A+sin C∈ . …………………………………14′学后反思 新课标对三角恒等变换的要求：“经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”.向量是公式推导的基础与工具，那么，考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向.这种综合题是高考中的中档题，向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数，关键是把得到的三角函数式进行三角恒等变形，得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b,从而求周期、最值、单调性等问题.举一反三举一反三4. 如图所示，A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为 ,△AOB为正三角形.(1)求sin∠COA;(2)求cos∠COB.解析:(1)因为A点的坐标为 ,根据三角函数的定义，sin∠COA= (2)因为△AOB为正三角形，所以∠AOB=60°.又sin∠COA= ,cos∠COA= 所以cos∠COB=cos(∠COA+60°)=cos∠COAcos 60°-.【例例】已知在△ABC中，sin(A+B)= ,cos B= - ,求cos A的值.错解 方法一：∵sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,又易错警示易错警示错解分析方法一应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于cos A的一元二次方程再求解，方程虽不简捷却是可行的，然而，由于对△ABC中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有检验，从而结论错误.事实上，已知cos B＜0,表明了B是钝角，由A+B+C=π知,A为锐角， 不合题意，应舍去.正解 在△ABC中，由cos B=- ,得.考点演练考点演练10. 若f(α)= ，求f（ ）.解析: ∵f(α)= .∴f（ ）= =8.11. 已知 ,θ∈(0,π)，求θ的值.解析： 由已知条件得 .即 sin θ- =0,解得sin θ= 或sin θ=0.由0＜θ＜π知sin θ= ,从而θ= 或θ= .12. (2008·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为.（1）求tan(α+β)的值；（2）求α+2β的值.解析：由条件得（2）第一节第一节 导数的概念及运算导数的概念及运算基础梳理基础梳理数量化视觉化1. 函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率(1)函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为 ,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若Δx无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 . (2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .3. 函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 .切线的斜率变化变化f′(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f′(x)= . f(x)=Cf′(x)= .f(x)=xf′(x)= .f(x)=x2f′(x)= .f(x)=x3f′(x)= . .f(x)= .f(x)=xa (a为常数)f(x)=ax(a＞0且a≠1)4. 基本初等函数的导数公式f′(x)= .f′(x)= .k012xf(x)=logax(a＞0且a≠1) .f(x)= f′(x)= .f(x)=ln x .f(x)=sin xf′(x)= .f(x)=cos xf′(x)= .cos xsinx5. 导数运算法则(1)［f(x)±g(x)］′= ; (2)［Cf(x)］′= (C为常数);(3)［f(x)·g(x)］′= ;f′(x)±g′(x)Cf′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)典例分析典例分析题型一题型一 利用导数的定义求导数利用导数的定义求导数【【例1】】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解∵∴当Δx无限趋近于0时， 趋近于2,∴y′|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对ΔyΔx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f′(x).举一反三举一反三1. 已知 ，利用定义求y′,y′|x=1.题型二题型二 利用求导公式求导数利用求导公式求导数【【例2】】求下列函数的导数.解析 分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解 (1)y′=( )′sin x+ ·(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (2) 举一反三举一反三2. 求函数 的导数.题型三题型三 导数的物理意义及在物理上的应用导数的物理意义及在物理上的应用【【例3】】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.解析分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.解 (1)质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题 举一反三举一反三3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.解析：∴物体在 时刻的瞬时速度为 .题型四题型四 导数的几何意义及在几何上的应用导数的几何意义及在几何上的应用【【例4】】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f′(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解 （1)∵y′=x2,………………………………………………2′∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4,………………………3′∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0……………………………………………………………….4′(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y′|x=x0=x20………………….…6′∴切线方程为即∵点P（2，4）在切线上，∴即x30-3x20+4=0,∴x30+x20-4x20+4=0,∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,……………………………….12′故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0………………………….14′学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.举一反三举一反三4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得 ,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为 ,∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .题型五题型五 复合函数的导数复合函数的导数【【例5】】求下列函数的导数..分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.解学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）—求导（导数相乘） 举一反三举一反三5.求下列函数的导数。

解析：易错警示易错警示【例例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 ∵∴ 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.正解 如右图，按切线的定义，当Δx→0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.考点演练考点演练10. 已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.解析： ∵f(x)过点（2,0）,∴ ,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.∵f′(x)=6x2-8,∴在点P处切线斜率 .又g′(x)=2bx,∴2b×2=16,∴b=4,∴c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.11. 设函数f(x)满足 ，a,b,c为常数，|a|≠|b|，求f′(x) 解析: 将 中的x换成 ，可得将其代入已知条件中得 ,12. (2008·宁夏)设函数 (a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.解析: (1)f′(x)= .于是 ,解得(2)证明:已知函数 都是奇函数，∴函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.（3）证明：在曲线上任取一点 ,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得 ,∴切线与直线x=1的交点为 .令y=x,得 ,∴切线与直线y=x的交点为 .直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.。