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最优控制问题综述报告一、最优控制简介最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一 定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值最优控制 是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法可概括为：对一个 受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方 案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标 值为最优最优控制是最优化方法的一个应用从数学意义上说，最优化方法是 一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数 达到极值，即最大值或最小值所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律， 使该系统能在规定的性能指标下具有最优值也就是说最优控制就是要寻找容许 的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端 状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值其本质是变分 学问题二、产生背景及发展最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学 科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法这方面的开创性 工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提 出的“极大值原理”，到了 60年代，卡尔曼等人又提出了可控制性及可观测性概 念，建立了最优估计理论。

它以20世纪60年代空间飞行器的制导为背景它最初的研究对象是由导弹、 航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、数字计算技术等领 域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最小的控制问题1948 年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》 的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生 和发展奠定了基础钱学森1954 年所着的《工程控制论》，直接促进了最优控制理论的发展和形 成1960 年，最大值原理、动态规划方法和最优线性调节器的理论被公认为最 优控制理论的三大里程碑，标志着最优控制理论的诞生时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大的发展， 例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理论的研究等等；在 生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析等实际生活中广泛应用最优控制理论的实现离不开最优化技术控制系统最优化问题，包括性能指 标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优 控制性能和最优控制形式最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两 个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是 如何根据数学模型尽快求出其最优解。

三、解决最优控制问题的方法1. 古典变分法研究对泛函求极值的一种数学方法古典变分法只能用在控制变量的取值范围 不受限制的情况在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边 界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最 大值范围内产生等因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题， 是无能为力的2. 极大值原理 极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广极大值原理的突出优点是可用 于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件3.动态规划动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适 合于在计算机上进行计算的比较有效的方法四、最优控制应用举例例 1 生产计划问题设 x(t) 表示商品存货量, r(t)>0 表示对商品的需求率，是已知函数,u(t)表示生产率，它将由计划人员来选取，故是控制变量x(t)满足下面的微分方程:xS( t)二一r (t) + u (t) t g [ 0, t ]x(0) = x0工是初始时刻的商品存货量，且” >0 从 x(t)的实际意义来看，显然必须选取生 产率使得x(t) > 0 t g [0, t」其次，生产能力应该有限制，即容许控制为0 < u (t) < A t g [0, t ]f这里 A>0 表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必须有A > r(t) t g [0, t ]假定每单位时间的生产成本是生产率u(t)的函数，即h[u(t)]。

设b>0是单 位时间储存单位商品的费用，于是，单位时间的总成本为：[X ( t ),u (t), t ] = h [ u (t)]+ bx (t)由 t=0 到 t= t f 的总成本为J (u) = I tf f [ x (t), u (t), t]dt0状态方程为x(t) = f (x(t), u(t), t) x(t) I = xt=tc 0f ( x ( t ), u ( t ), t ) 满足一定条件时，方程有唯一解 性能指标：J — J T L(x, u, t)dt t0令 H = L ( x , u , t) +九t f ( x , u , t) 哈密顿函数九(T)=却(x (T))a x (t)dH~5u再利用边界条件求解令 酋 t) = _ S H (x，尢,u, t) d x例2 l")为t时刻库存量，u(t)为t时刻生产率， *(门 为t时刻销售率，求 /i门 使［0,2 ］时间内有最小生产量x& (t) — x (t) x& (t) — u (t)22边界条件x (0) — 11x (0) = 12x (2)二 01x2(2)指标泛函函哈密顿函数J — J 2 u 2 0— 1 2H — — u 2 22dt+X x +X u1 2 + 2伴随方程dH — 0ax1X& (t ) — —2aHa x2-Xi( t)其解为(t)X ( t ) — — a t +aH-_ — u + X duu = _ — a t — a2 1 2匚=x—u—at—a2 1 211x = _a 13 一_a 12 + a t + a1 6 1 2 2 3 41x = a 12 一 a t + a2 2 1 2 3利用边界条件，可得：7a = 3 a =-i 2 2x (t )1x (t )217t3 一 t22 437=t2 一2 2u * (t) = 3t —五、总结最优控制四个关键点分别为受控对象为动态系统、初始与终端条件（时间和 状态）、性能指标、容许控制，最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用 或控制规律，使动态系统从初始状态转移到某种要求的终端状态，并且保证某种 要求的性能指标达到最小值或最大值。