小六数学第11讲质数与合数(教师版)——李寒松.docx

第十一讲 质数与合数 1.质数与合数 一个数除了l和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７　．注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数2.质因数与分解质因数（算术基本定理） 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．比如：把42分解质因数应该是42=237，其中2，3，7是42的质因数．又如： ，其中2和3都是54的质因数．3.利用分解质因数求约数的个数一般地，如果分解质因数有下列形式： 其中都是质因数，而是指数，即对应A包含各个质因数的个数．①那么A的所有约数的个数为比如：，那么300的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个．②那么A的所有约数的和为③N的约数的和为：4.质数，合数有下面常用的性质：①1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．②若质数│ab，则必有│a或│b．③若正整a、b的积是质数，则必有a=或b=． ④算术基本定理：任意一个大于l的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N可以写成标准分解形式：其中，为质数，为非负整数，(i＝1，2，…k)．1.在有些问题的解决中适当地考虑到自然数的奇偶性和是否为质数或合数的特点，恰当地应用这些特点可简便、快捷地解决问题。

2.能应用质数与合数的性质解题例1：在三位愉快的教士面前有一个画有16个方格的台面，上面放有10个硬币，每个硬币占一个方格教士们绞尽脑汁想用这10个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行行可以是横的，也可以是竖的，也可以是对角线即图1中的硬币如何重新布局才能排出尽可能多的硬币个数是偶数的行分析：要把10个硬币排到44的方格中，而且保证横行硬币个数为偶数个，则横行排列时每行最多排4个，最少排2个则横行排列的个数为4，2，2，2若要保证竖行硬币个数也为偶数个，同理，按竖行排列的个数也应为4，2，2，2先把最多的横行和竖行硬币排列出来使一横行和一竖行排满4个，则用去7个硬币然后将剩下的3个硬币排入，因为此时恰好有三个奇数的横行（或竖行）答案：先排出最满的横行与竖行，再调整剩下的三个硬币的位置使之满足题意可得结果如图2所示例2：用五个奇数数码能否组成自然数14分析：我们知道奇数个奇数的和应是奇数，此题似乎无解但仔细读题可以知道并非是五个奇数，而是奇数数码也就是说应该用偶数个奇数组成14若用两个奇数组成14，则不能出现五个奇数数码则一定是由四个奇数组成自然数14那么其中一定有一个是两位数，小于14的两位数的奇数有11和13，由于13+l=14，不合题意。

那么这4个奇数中一定有一个为11，那么结果可知答案：由5个奇数数码组成自然数14，方法如下：11+l+l+l=14例3：有一个商人买进一些狗和兔子，其中兔子的对数正好是狗的只数的一半商人买一只狗花2元钱，和他买一对兔子的价钱一样他出售时各加价10％这个商人卖出了大部分狗和兔子，最后剩下7只他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多他赚的钱也就是这剩下的7只狗和兔子的售价试问商人赚了多少钱？分析：由“兔子的对数正好是狗的只数的一半”可知，兔子的只数与狗的只数相等设买进的狗和兔子都是x只，卖剩的7只狗和兔子中有狗y只，兔子（7-y）只那么卖出的狗数为（x-y）只，卖出兔子[x-（7-y）]只1只狗的售价为：2+210％=2.2（元），1只兔子的售价：（元）由条件“他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多”，可列出方程：2y+x=2.2（x-y）+1.1（x-7+y），那么3x=3.3x-1.1y-7.7，整理得：3x=11y+77观察此方程解的特点：x，y都为整数，且y值不大于7由于x是兔子的只数，则x是偶数，因为兔子按对买入由77是奇数可知3x与11y中必有一个为奇数，因为x是偶数，那么3x是偶数，11y必为奇数，那么y为奇数，y可能为l、3或5。

则可求出x、y的值，则题可解答案：设商人买进的狗的只数与兔子的只数各为x只卖剩下的7只动物中有y只狗，则有（7-y）只兔子那么可知卖出的狗为（x-y）只，卖出的兔子为[x-（7-y）]只买一只狗2元，卖出2.2元，买一只兔子1元，卖出l.l元2x+x=2.2（x-y）+l.1（x-7+y）3x=11y+77当y=1时，（不合题意）；当y=3时，（不合题意）；当y=5时，那么剩下的7只动物中有5只狗和2只兔子，由条件知他赚的钱也就是这7只狗和兔子的售价，为：2.25+1.12=13.2（元）答：商人赚了13.2（元）例4：解答下列各题：（1）7个相邻的奇数的和是147，求这7个数2）三个相邻的偶数相乘，乘积是一个六位数4□□□□8，请把中间的四个数字填出来分析：（1）相邻的奇数相差2，若第一个奇数为a，则另外六个数依次为：a+2，a+4，a+6，a+8，a+10，a+12由和为147，可求出这7个数2）因为已知的乘积是六位数，所以相邻的三个偶数都是两位数而偶数的末位数字只能是0，2，4，6，8；相邻的三个偶数的末位只能是0，2，4或2，4，6或4，6，8或6，8，0或8，0，2这五种情形。

由本题三个相邻偶数的乘积其末位数为8，在上面的五种情形中，只有246的末位数字为8，所以相邻的三个偶数的末位数字依次为2，4，6为确定十位上的数字，可以大致估计一下，707070=343000，808080=512000因为本题给出的乘积是一个六位数4□□□□8，它在343000和5l2000之间，则可以判断出这三个相邻偶数的范围答案：（1）☆解法一：设第一个奇数为a，，则7个奇数的和a+（a+2）+（a+4）+（a+6）+（a+8）+（a+10）+（a+12）=147，7a+42=147，a=15a+2=17，a+4=19，a+6=21，a+8=23，a+10=25，a+12=27☆解法二：这7个数中排列于中间的数：1477=21，这是第四个奇数依次写出这7个相邻的奇数是15，17，19，21，23，25，272）这三个连续偶数的末位数是2，4，6，而且这三个偶数在70与80之间，则有：727476=404928则中间的四个数为0492例5：求自然数中前25个奇数的和；并判断这个和是奇数还是偶数？分析：先确定第25个奇数的数值，可利用数列求和的知识求出这25个数的和25个奇数的和即为奇数个奇数求和，由加法运算中奇、偶数的规律可判断。

答案：第25个奇数为252-l=49依题意，就是要求计算：1+3+5+…+49=（1+49）252=625奇数个奇数的和为奇数，则25个奇数的和是奇数答：自然数中前25个奇数的和是625，这个和是奇数例6：求270的约数个数分析：先对270分解质因数，再把270的质因数作各种乘积的组合，算出每种组合的个数，然后再求和答案：270=23335（1）一个质因数构成的约数有：2，3，5，共3个；（2）两个质因数构成的约数有：23，25，35，33，共4个；（3）三个质因数构成的约数有：233，333，335，共3个；（4）四个质因数构成的约数有：2333，3335，共2个；（5）270本身和自然数1，共2个合计共有约数：3+4+3+2+2=14（个）例7：求合数2730的约数中，其中最小的三位数约数是多少？分析：可从最小的三位数100起依次分析100，101，102，…是否为2730的约数也可先求出2730的三位数的约数，再找出其中最小的一个答案：☆解法一：2730=235713因为100的约数中有2个5和2个2而2730的约数中只有1个2和1个5因此，100不是2730的约数101是质数，且不能被2730整除，所以101不是2730的约数。

101是质数，且不能被2730整除，所以101不是2730的约数102=2317，103、104不能被2730整除，所以102、103、104不是2730的约数中最小的三位数约数☆解法二：因为2730=235713，故2730的三位数约数为357=105，3513=195，5713=455，2357=210，23513=390容易看出，其中105是最小的，所以105是2730的最小的三位数约数A1.已知三个不同的质数a，b，c满足abbc+a=2000，那么a十b十c= ．答案：422.不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )． A．3 B．1 C．7 D．9答案：D3.求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．答案：34. (1)将l，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N．求证：N一定是合数； (2)若n是大于2的正整数，求证：2n一1与2n+1中至多有一个是质数．分析与解： (1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n一1与2n+1中必有一个是合数，不能同为质数即可．5.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块；若选田边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x，y、n都是正整数．且(x，y)＝1．试问这块地有多少平方米?分析与解：B6.由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( ) A．质数 B．合数 C奇合数 D．偶合数分析与解：∵ 2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C． 注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数。