蒙特卡洛方法 方法.docx

MCC 方法蒙特卡罗方法的诞生蒙特卡罗方法的产生可追溯到Buffon投针实验法国数学家Buffon用此实 验来估算兀值，它的原理是这样子的：在桌面上划一组间距为d的平行线，然后 向桌面上随意抛掷长度为L的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到兀值其中 A € [ 0d, ) x G [0号)由积分性质可得投针置于平行线上的概率为P二00l sin 0亠 dAdx 二d兀21d兀假如在N次投针实验中’有M次与平行线相交’则有P =訂-图 3.3 投针位置分析1930 年，费米利用蒙特卡罗方法研究了中子的扩散，并设计了一个蒙特卡 罗机械装置，用于计算核反应堆的临界状态冯•诺依曼是蒙特卡罗方法的正式奠基者，他与Stanislaw Ulam合作建立了概 率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器，从而使得蒙特 卡罗方法得以推广，成为科学领域一种常用的模拟方法 蒙特卡罗方法的基本思想对某一个待解决的物理问题（当这个物理问题可以抽象为数学问题时）建立 一个概率模型，即确定某个随机事件X,使得待求问题的解等于随机事件X出 现的概率或随机变量的数学期望值然后进行模拟实验，重复多次地模拟随机事 件X。

最后对随机实验结果进行统计平均，求出X出现的频数作为问题的近似 解这就是蒙特卡罗方法的基本思想具体来说：假设所要求的量x是随机变量泊勺数学期望二那么近似确定x的方法是 对£进行N次重复抽样，产生相互独立的E值的序列6、冬、……、J；,并计算其 算术平均值：根据大数定理有P（N s因此，当 N 充分大时，下式成立的概率为1,亦即可以用J作为所求量x的估计值用蒙特卡罗方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为 P 的随机事件A考虑一个随机变量乙若在一次试验中事件A出现，则E取值为1；若事件A不出现，贝阮取值为0令q=1-p，那么随机变量E的数学期望E：./ = 1 ■ p - 2 ■ c. = p，此即一次试验中事件A出现的概率E的方差三理一"T = P - = p?o假设在N次试验中事件A出现v次，那么观察频数v也是一个随机变量，其数学期望f = ?

碰撞问题等离子体中存在大量运动着的电子、离子、中性粒子，它们之间不断发生着 各种类型的碰撞一般的蒙特卡罗碰撞是采用碰撞时间随机的方法而PIC方法中的MCC模 型不同于一般的蒙特卡罗碰撞在PIC方法中，粒子推进和场推进的时间步长是 固定的，采用在一个时间步长内随机决定粒子之间是否发生碰撞来实现蒙特卡罗 碰撞［10］首先给定初始电磁场和初始粒子，在电场和磁场的作用下按照牛顿力学及洛 伦滋方程处理碰撞粒子对的位置和速度，得到一个时间步长后的粒子的新位置和 速度然后根据粒子运动前后的位置和速度，在空间网格上分配电荷、电流密度， 最后利用 Maxwell 方程组求解新的电场和磁场再在新的电场和磁场下更新粒子 位置和速度，如此循环下去，模拟出等离子体的动态物理过程并采用蒙特卡罗 模型得到碰撞后的位置和速度o 二兀(r1 + r2)2每个时间步长二内发生碰撞的概率:P 二 1 - exp(—no (8 )Al)c i , j i程序结构图 程序流程图。