1986年全国统一高考数学试卷(理科).doc

1986 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1． （3 分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（　　）A．B．C．D．2． （3 分）函数 y=（0.2） ﹣x+1 的反函数是（　　）A．y=log5x+1 B．y=logx5+1 C． y=log5（x﹣1）D． y=log5x﹣13． （3 分）极坐标方程 表示（　　）A．一条平行于x 轴的直线B．一条垂直于x 轴的直线C．一个圆 D．一条抛物线4． （3 分）函数 是（　　）A． 周期为 的奇函数B． 周期为 的偶函数C． 周期为 的奇函数D． 周期为 的偶函数5． （3 分）给出 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 它们的和是（　　）A．1789 B．1799 C．1879 D．18996． （3 分） （2004•重庆）已知 p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7． （3 分）如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D 2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线 y=x 对称，那么必有（　　）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F8． （3 分）在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G 2、G 3 三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 S﹣EFG 中必有（　　）A．SG⊥△EFG 所在平面B．SD⊥△EFG 所在平面C．GF⊥△SEF 所在平面D．GD⊥△SEF 所在平面9． （3 分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与 y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（　　）A．B．C．D．10． （3 分）当 x∈[﹣1，0] 时，在下面关系式中正确的是（　　）A．B．C．D．二、解答题（共 13 小题，满分 90 分）11． （4 分）求方程 的解．12． （4 分）已知 的值．13． （4 分）在 xoy 平面上，四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0） 、 （1，0） 、 （2，1）及（0，3）求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．14． （4 分）求 ．15． （4 分）求 展开式中的常数项．16． （4 分）已知 的值．17． （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A、B 的任一点，求证：平面 PAC 垂直于平面 PBC．18． （12 分）当 sin2x＞0，求不等式 log0.5（x 2﹣2x﹣15）＞log 0.5（x+13 ）的解集．19． （10 分）如图，在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 A、B 试在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 C，使∠ACB 取得最大值．20． （10 分）已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素， A∩B 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数：（1）C⊂ A∪B 且 C 中含有 3 个元素， （2）C∩ A≠∅（∅表示空集） ．21． （12 分）过点 M（﹣1， 0）的直线 L1 与抛物线 y2=4x 交于 P1、P 2 两点记：线段 P1P2 的中点为 P；过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2；L 1 的斜率为 k 试把直线 L2 的斜率与直线 L1 的斜率之比表示为 k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．22． （12 分）已知 x1＞0，x 1≠1，且 ， （n=1，2，…） ．试证：数列{x n}或者对任意自然数 n 都满足 xn＜x n+1，或者对任意自然数 n 都满足 xn＞x n+1．23．附加题：（1）求 y=xarctgx2 的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线 相切的直线方程．1986 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1． （3 分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（　　）A．B．C．D．考点： 复数的基本概念． 分析： 复数的三角形式是 r（cosθ+isinθ） ，观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答： 解：∵Z=r（cosθ+isinθ） ，∴Z=2（ cos +isin ） ，故选 B点评： 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2． （3 分）函数 y=（0.2） ﹣x+1 的反函数是（　　）A．y=log5x+1 B．y=logx5+1 C． y=log5（x﹣1）D． y=log5x﹣1考点： 反函数． 专题： 计算题．分析： 本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．解答： 解：根据指数式与对数式的互化，由 y=（ 0.2） ﹣x+1 解得 x=log5（y﹣ 1）x，y 互换得：y=log 5（x﹣1）故选 C点评： 本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．3． （3 分）极坐标方程 表示（　　）A．一条平行于x 轴的直线B．一条垂直于 x 轴的直线C．一个圆 D．一条抛物线考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 选作题；转化思想．分析：首先由极坐标与直角坐标系的转换公式 ，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形．解答：解：由极坐标与直角坐标系的转换公式 ，可得到 X= 即是一条垂直于 x 轴的直线．所以答案选择 B．点评：此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式 的应用．计算量小题目较容易．4． （3 分）函数 是（　　）A． 周期为 的奇函数B． 周期为 的偶函数C． 周期为 的奇函数D． 周期为 的偶函数考点： 二倍角的正弦． 分析： 逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答： 解：∵y= sin2xcos2x= sin4x∴T=2π÷4= ，∵原函数为奇函数，故选 A点评： 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为 y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5． （3 分）给出 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 它们的和是（　　）A．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点： 收集数据的方法． 专题： 计算题．分析： 本题要求求 20 个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答： 解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选 B．点评： 本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6． （3 分） （2004•重庆）已知 p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 压轴题．分析： 由题设条件知 p⇒r⇒s⇒q．但由于 r 推不出 p，所以 q 推不出 p．解答： 解：依题意有 p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于 r 推不出 p，∴q 推不出 p．故选 A．点评： 本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．7． （3 分）如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D 2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线 y=x 对称，那么必有（　　）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点： 圆的一般方程． 分析： 圆关于直线 y=x 对称，只需圆心坐标满足方程 y=x 即可．解答： 解：曲线关于直线 y=x 对称，就是圆心坐标在直线 y=x 上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D 2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选 A．点评： 本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．8． （3 分）在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G 2、G 3 三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 S﹣EFG 中必有（　　）A SG⊥△EFG 所 B SD⊥△EFG 所 C GF⊥△SEF 所 D GD⊥△SEF 所． 在平面 ． 在平面 ． 在平面 ． 在平面考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 分析： 根据题意，在折叠过程中，始终有 SG1⊥G1E，SG 3⊥G3F，即 SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得 SG⊥平面 EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．解答： 解：∵在折叠过程中，始终有 SG1⊥G1E，SG 3⊥G3F，即 SG⊥GE，SG ⊥GF，所以 SG⊥平面 EFG．故选 A．点评： 线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9． （3 分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与 y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（　　）A．B．C．D．考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 压轴题；数形结合．分析： 要分析满足条件的 y=ax2+bx 与 y=ax+b（ab ≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数 a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除 A，C；由二次函数常数项 c 为 0，函数图象过原点，可排除 B．解答： 解：在 A 中，由二次函数开口向上，故 a＞0故此时一次函数应为单调递增，故 A 不正确；在 B 中，由 y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故 B 也不正确；在 C 中，由二次函数开口向下，故 a＜0故此时一次函数应为单调递减，故 C 不正确；故选 D．点评： 根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．10． （3 分）当 x∈[﹣1，0] 时，在下面关系式中正确的是（　　）A．B．C．D．考点： 反三角函数的运用． 专题： 压轴题；阅读型．分析： 利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．解答： 解：当 x 在（﹣1，0） x∈[﹣1，0]内变化时：由于 0＜1﹣x 2＜1，每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为 π；考查第二项，由于 arccos（﹣x）和 arcsin（﹣x）均为锐角，所以 π﹣arccos（﹣x）=钝角， （A）不正确．π﹣arcsin（﹣x） =钝角， （B）不正确．由于 arcsinx 为负锐。