考研数学之线性代数讲义(考点知识点概念定理总结).pdf

线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值概念, 计算与应用相似对角化判断与实现附录一内积 正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四 06,07年考题第一讲基本概念1线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+a2nxn=b2, am1x1+am2x2+amnxn=bm, 其中未知数的个数n 和方程式的个数m不必相等 . 线性方程组的解是一个n 维向量 (k1,k2, ,kn)( 称为解向量 ),它满足 : 当每个方程中的未知数xi都用 ki替代时都成为等式 . 线性方程组的解的情况有三种: 无解, 唯一解 , 无穷多解 . 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1) 判断解的情况 .(2) 求解, 特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组 . n 维零向量总是齐次线性方程组的解, 称为零解 . 因此齐次线性方程组解的情况只有两种: 唯一解 ( 即只要零解 ) 和无穷多解( 即有非零解 ). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组， 简称导出组 . 2. 矩阵和向量 (1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 由 m n 个数排列成的一个m行 n 列的表格 , 两边界以圆括号或方括号 , 就成为一个 m n 型矩阵. 例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个 4 5 矩阵. 对于上面的线性方程组, 称矩阵 a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1A= a21 a22 a2n 和(A|)= a21 a22 a2n b2am1 am2 amn am1 am2 amn bm为其 系数矩阵 和增广矩阵 .增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 一个矩阵中的数称为它的元素, 位于第 i 行第 j 列的数称为(i,j)位元素 . 元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵 , 通常就记作 0. 两个矩阵A和B相等 ( 记作A=B), 是指它的行数相等 , 列数也相等( 即它们的类型相同 ), 并且对应的元素都相等. 由 n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量 , 称这些数为它的分量 . 书 写 中 可 用 矩 阵 的 形 式 来 表 示 向 量 , 例 如 分 量 依 次 是a1,a2, ,an的向量可表示成 a1(a1,a2, ,an) 或 a2 , an 请注意 , 作为向量它们并没有区别, 但是作为矩阵 , 它们不一样( 左边是 1 n矩阵, 右边是 n 1矩阵). 习惯上把它们分别称为行向量和列向量 .( 请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别 .) 一个 m n 的矩阵的每一行是一个n 维向量 , 称为它的行向量 ; 每一列是一个m维向量 , 称为它的列向量 . 常常用矩阵的列向量组来写出矩阵 , 例如当矩阵A的列向量组为1,2, ,n时( 它们都是表示为列的形式!) 可记A=(1,2, ,n). 矩阵的许多概念也可对向量来规定, 如元素全为 0的向量称为零向量 , 通常也记作 0. 两个向量和相等( 记作=), 是指它的维数相等 , 并且对应的分量都相等. (2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的, 下面以矩阵为例来说明. 加( 减) 法: 两个 m n 的矩阵A和B可以相加 ( 减), 得到的和( 差) 仍是 m n 矩阵 , 记作A+B (A-B), 法则为对应元素相加( 减). 数乘: 一个 m n的矩阵A与一个数 c可以相乘 , 乘积仍为 m n的矩阵 , 记作 cA, 法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算, 它们满足以下规律 : 加法交换律 :A+B=B+A. 加法结合律 :(A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律 :c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 数乘结合律 : c(d)A=(cd)A. c A=0 c=0 或 A=0. 转置: 把一个 m n 的矩阵 A行和列互换 , 得到的 n m的矩阵称为A的转置 , 记作A T(或A). 有以下规律 : (AT)T=A. (A+B)T=AT+BT. (cA)T=cAT.转置是矩阵所特有的运算, 如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了. 当是列向量时 , T表示行向量 ,当是行向量时 , T表示列向量 . 向量组的线性组合 : 设1,2, ,s是一组 n 维向量 , c1,c2, ,cs是一组数 , 则称c11+c22+css 为1,2, ,s的( 以 c1,c2, ,cs为系数的 ) 线性组合 . n 维向量组的线性组合也是n 维向量 . (3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵, 行列数都为 n的矩阵也常常叫做 n 阶矩阵 . 把 n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线 .( 其上的元素行号与列号相等.) 下面列出几类常用的n阶矩阵 , 它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵 : 对角线外的的元素都为0 的 n 阶矩阵 . 单位矩阵 : 对角线上的的元素都为1 的对角矩阵 , 记作E( 或I). 数量矩阵 : 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵, 它就是 cE. 上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为0 的 n 阶矩阵 . 下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为0 的 n 阶矩阵 . 对称矩阵 : 满足AT=A矩阵. 也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n 阶矩阵 . (反对称矩阵 : 满足AT=-A矩阵. 也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和 (j ,i)位的元素之和总等于0 的 n 阶矩阵 .反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种 初等行变换 : 交换两行的位置 . 用一个非 0 的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上.( 称这类变换为倍加变换) 类似地 , 矩阵还有三种 初等列变换 , 大家可以模仿着写出它们, 这里省略了 . 初等行变换与初等列变换统称初等变换 . 阶梯形矩阵 : 一个矩阵称为阶梯形矩阵, 如果满足 : 如果它有零行 , 则都出现在下面 . 如果它有非零行 , 则每个非零行的第一个非0 元素所在的列号自上而下严格单调递增. 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0 元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵 : 是特殊的阶梯形矩阵, 特点为 : 台角位置的元素为1. 并且其正上方的元素都为0. 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵 . 这种运算是性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算 , 必须十分熟练 . 请注意 : 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的 , 但是其非零行数和台角位置是确定的. 2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法: 用同解变换把方程组化为阶梯形方程组( 即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组). 线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非 0 的常数乘某个方程 . 把某个方程的倍数加到另一个方程上. 以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换. 线性方程组求解的基本方法是消元法, 用增广矩阵或系数矩阵来进行 , 称为矩阵消元法 . 对非齐次线性方程组步骤如下: (1) 写出方程组的增广矩阵(A|), 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵 (B| ). (2) 用(B| ) 判别解的情况 : 如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解 , 否则有解 . 有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解； rn 时无穷多解 . (推论 : 当方程的个数mn时, 不可能唯一解 .) (3) 有唯一解时求解的 初等变换法 : 去掉 (B| ) 的零行 , 得到一个n(n+1) 矩阵 (B0|0), 并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|), 则 就是解 . 对齐次线性方程组 : (1) 写出方程组的系数矩阵A, 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2) 用B判别解的情况 : 非零行数r=n 时只有零解； rn 时有非零解 ( 求解方法在第五章讲). (推论: 当方程的个数m2 时,(A*)*=|A|n-2A； n=2 时,(A*)*=A. 二典型例题1. 计算题例 1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T, 求A6. 讨论 :(1)一 般 地, 如 果 n 阶 矩阵A=T, 则Ak=(T)k-1A=(trA)k-1A . (2) 乘法结合律的应用: 遇到形如T的地方可把它当作数处理 . 1 -1 1 T= -1 1 -1 ，求T. （2003一） 设=(1,0,-1)T, A=T, 求|aE-An|. n 维向量=(a,0,0,a)T, a1) 例 3 1 0 0 设A= 1 0 1 ， (1) 证明当 n1 时An=An-2+A2-E. (2) 求An. 例 4A为 3 阶矩阵 , 1,2,3是线性无关的3 维列向量组 , 满足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33. 求作矩阵B, 使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四 ) 例 5 设 3 阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93), 求|B|.(05) 例 6 3 维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0, 1,2,3|=a, 求|1,2,3|. 例 7 设A是 3 阶矩阵 ,是 3 维列向量 , 使得P=(,A,A2) 可逆, 并且A3=3A-2A2. 又 3 阶矩阵B满足A=PBP-1. (1) 求B.(2) 求|A+E|.(01一) 2 1 0 例 8 3 阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E, 其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一) 0 0 1 例 9 3 -5 1 设 3 阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A, 求X. -1 0 2 例 10 1 1 -1 设 3 阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X, 求X. 1 -1 1 例 11 4 阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E, 已知 1 0 0 0 A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一) 1 0 1 0 0 -3 0 8 例 12 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 ,B= 0 0 0 ,XA+2B=AB+2X, 求X11. 2 1 3 0 0 -1 例 13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A1=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T, 求A. 2. 概念和证明题例 14 设A是 n 阶非零实矩阵 , 满足A*=AT. 证明: (1)|A|0. (2) 如果 n2, 则|A|=1. 例 15 设矩阵A=(aij)3 3满足A*=AT,a11,a12,a13为 3 个相等的正数, 则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三 ) 例 16。