数学建模规划问题的经典案例PPT.ppt

建立优化模型的一般步骤建立优化模型的一般步骤1.1.确定决策变量确定决策变量2.2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式3.3.寻找约束条件寻找约束条件例例1 1：：设某厂生产电脑和两种产品，这两种产品的生产需要逐设某厂生产电脑和两种产品，这两种产品的生产需要逐次经过两条装配线进行装配电脑在第一条装配线每台需要次经过两条装配线进行装配电脑在第一条装配线每台需要2 2小时，小时，在第二条装配线每台需要在第二条装配线每台需要3 3小时；在第一条装配线每台需要小时；在第一条装配线每台需要4 4小时，在第二条装配线每台需要小时，在第二条装配线每台需要1 1小时第一条装配线每天有小时第一条装配线每天有8080个个可用工时，第一条装配线每天有可用工时，第一条装配线每天有6060个可用工时，电脑和每台个可用工时，电脑和每台的利润分别为的利润分别为100100元和元和8080元问怎样制定生产计划？元问怎样制定生产计划？分析：分析： 目标是利润目标是利润L；而利润是由电脑的产量；而利润是由电脑的产量x和的产量和的产量y决定决定§2.4 案例案例假设：假设：1 1、两种产品的销量不受限制、两种产品的销量不受限制2 2、原材料供应不受限制、原材料供应不受限制约束条件：约束条件：装配线装配线1 1的工时限制的工时限制装配线装配线2 2的工时限制的工时限制变量约束变量约束建立模型建立模型模型求解：模型求解：1243657例例2 2：：最短路线问题的数学建模实例最短路线问题的数学建模实例141512101320912881012436579810例例3 3：：最短路线问题算例最短路线问题算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路线为最短路线为:1-4-6-9-10，长度：，长度：65012436571415121013209128810例例4 4：：最小费用流问题最小费用流问题例例5 5：：最大流量问题最大流量问题12436571415121013209128810工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。

水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电存贮模型存贮模型存贮量多少合适？存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求次性订购费用增加，或不能及时满足需求问题问题1 1 不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型        配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费今已知某一部件的日需求量占用仓库要付存贮费今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，存贮费每日每件元，存贮费每日每件1元如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

问题分析问题分析若每天生产一次，每次若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准件，无存贮费，生产准备费备费5000元，每天费用元，每天费用5000元；元；若若10天生产一次，每次天生产一次，每次1000件，存贮费件，存贮费900+800+…+100=4500元，生产准备费元，生产准备费5000元，元，总计总计9500元，平均每天费用元，平均每天费用950元；元；若若50天生产一次，每次天生产一次，每次5000件，存贮费件，存贮费4900+4800+…+100=122500元，生产准备费元，生产准备费5000元，总计元，总计127500元，平均每天费用元，平均每天费用2550元；元；寻找寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少存贮费之间的关系，使每天的费用最少模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期连续化，即设生产周期 T 和产量和产量 Q 均为连续量；均为连续量；2 产品每日的需求量为常数产品每日的需求量为常数 r ；；3 每次每次生产准备费生产准备费 C1，每日每件产品存贮费，每日每件产品存贮费 C2；；4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量   降到零时，降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即件产品立即生产出来供给需求，即  不允许缺货。

不允许缺货模型建立模型建立总费用与变量的关系总费用与变量的关系总费用总费用=生产准备费生产准备费+存贮费存贮费存贮费存贮费=存贮单价存贮单价*存贮量存贮量存贮量存贮量=？？设设 t 时刻的存贮量为时刻的存贮量为 q(t) ，，t = 0时生产时生产 Q 件，件，存贮量存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率以需求速率 r 线性递减，线性递减，直至直至q(T) = 0，如图q(t) = Q- r t，， Q = r T  otqQTrA不允许缺货模型的存贮量不允许缺货模型的存贮量q(t) 存贮量的计算存贮量的计算一个周期内存贮量一个周期内存贮量一个周期内存贮费一个周期内存贮费(A的面积的面积)一个周期的总费用一个周期的总费用每天平均费用每天平均费用模型求解模型求解用微分法用微分法每天平均最小费用每天平均最小费用思考思考1建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费    用），在什么情况下才可以不考虑它？用），在什么情况下才可以不考虑它？2建模时作了建模时作了“生产能力无限大生产能力无限大”的简化假设，的简化假设，如如   果生产能力有限，是大于需求量的一个常果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？数，如何建模？结果解释结果解释当准备费当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。

增加时，生产周期变小而产量变大这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到这里得到的费用这里得到的费用C与前面计算得与前面计算得950元有微小差别，元有微小差别，你能解释吗？你能解释吗？在本例中在本例中敏感性分析敏感性分析讨论参数讨论参数有微小变化时对生产周期有微小变化时对生产周期T 影响由相对变化量衡量对参数的敏感程度由相对变化量衡量对参数的敏感程度T 对对c1 的敏感程度记为的敏感程度记为意义是当准备费增加意义是当准备费增加1%时，生产周期增加时，生产周期增加0.5% ；；而存贮费增加而存贮费增加1%时，生产周期减少时，生产周期减少0.5% ；；日需求量增加日需求量增加1%时，生产周期减少时，生产周期减少0.5% 当当有微小变化对生产周期影响不太大有微小变化对生产周期影响不太大模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期连续化，即设生产周期 T 和产量和产量 Q 均为连续量；均为连续量；2 产品每日的需求量为常数产品每日的需求量为常数 r ；；3 每次每次生产准备费生产准备费 C1，每日每件产品存贮费，每日每件产品存贮费 C2；；4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺   货，每天每件产品缺货损失费货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需，但缺货数量需    在下次生产（订货）时补足。

在下次生产（订货）时补足问题问题2  允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型模型建立模型建立总费用总费用=生产准备费生产准备费+存贮费存贮费+缺货损失费缺货损失费存贮费存贮费=存贮单价存贮单价*存贮量存贮量缺货损失费缺货损失费=缺货单价缺货单价*缺货量缺货量存贮量存贮量=？，缺货量？，缺货量=？？因存贮量不足造成缺货，因此因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值，可取负值， q(t) 以需求速率以需求速率 r 线性递减，直至线性递减，直至q(T1) = 0，如，如图q(t) = Q-r t，， Q = r T1  otqQTrA允许缺货模型的存贮量允许缺货模型的存贮量q q( (t t) ) RT1B一个周期内缺货损失费一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费一个周期内存贮费一个周期的总费用一个周期的总费用每天平均费用每天平均费用模型求解模型求解用微分法用微分法 令令每天平均最小费用每天平均最小费用每个周期的供货量每个周期的供货量与不允许缺货模型相比较，有与不允许缺货模型相比较，有结果解释结果解释即允许缺货时，即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。

2）缺货损失费愈大，）缺货损失费愈大，   愈小，愈小，   愈接近愈接近      ，，       愈接近愈接近      1））3））不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例企业生产计划企业生产计划奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划时间层次时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订制订单阶段生产计划单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划否则应制订多阶段生产计划本节课题本节课题        一奶制品加工厂用牛奶生产一奶制品加工厂用牛奶生产A1、、A2两种奶制品，一桶牛两种奶制品，一桶牛奶可以在甲类设备上用奶可以在甲类设备上用12小时加工成小时加工成3公斤公斤A1，或者在乙类设，或者在乙类设备上用备上用8个小时加工成个小时加工成4公斤公斤A2。

根据市场需求，生产的根据市场需求，生产的A1，，A2全部都能售出，且每公斤全部都能售出，且每公斤A1获利获利24元，每公斤元，每公斤A2获利获利16元现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为动时间为480小时，并且甲类设备每天之多能加工小时，并且甲类设备每天之多能加工100公斤公斤A1，，乙类设备没有加工能力限制试为该厂制订一个生产计划，使乙类设备没有加工能力限制试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一以下每天获利最大，并进一步讨论一以下3个附加问题：个附加问题：例例1    加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划• 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?• 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 例例1    加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时  至多加工至多加工100公斤公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?• 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 24×3x1 获利获利 16×4 x2 原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时  至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性 可可加加性性 连续性连续性 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xi取值成取值成正比正比 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi取值成取值成正比正比 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值无取值无关关 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xj取值无取值无关关 xi取值连续取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各每公斤的获利是与各自产量无关的常数自产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与各自产量无关的常数时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相每公斤的获利是与相互产量无关的常数互产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与相互产量无关的常数时间是与相互产量无关的常数加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数 线性规划模型线性规划模型模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l5约约束束条条件件目标目标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c (常数常数) ~等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。

形的某个顶点取得     OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)            3360.000  VARIABLE       VALUE          REDUCED COST        X1           20.000000                0.000000        X2           30.000000                0.000000 ROW    SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES        2)            0.000000                 48.000000        3)            0.000000                   2.000000        4)          40.000000                   0.000000 NO. ITERATIONS=       2模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO 6.1 max 72x1+64x2st2））x1+x2<503））12x1+8x2<4804））3x1<100endDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。

元     OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)            3360.000  VARIABLE       VALUE          REDUCED COST        X1           20.000000                0.000000        X2           30.000000                0.000000 ROW    SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES        2)            0.000000                 48.000000        3)            0.000000                   2.000000        4)          40.000000                   0.000000 NO. ITERATIONS=       2：：结果解释结果解释     OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)            3360.000  VARIABLE       VALUE          REDUCED COST        X1           20.000000                0.000000        X2           30.000000                0.000000 ROW    SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES        2)            0.000000                 48.000000        3)            0.000000                   2.000000        4)          40.000000                   0.000000 NO. ITERATIONS=       2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2））x1+x2<503））12x1+8x2<4804））3x1<100end三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 结果解释结果解释         OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)      3360.000  VARIABLE       VALUE          REDUCED COST        X1           20.000000                0.000000        X2           30.000000                0.000000 ROW    SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES        2)            0.000000                 48.000000        3)            0.000000                  2.000000        4)           40.000000                 0.000000 NO. ITERATIONS=       2最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增的增量量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格 • 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？35 <48, 应该买！应该买！• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？  2元！元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT  ALLOWABLE  ALLOWABLE                            COEF          INCREASE       DECREASE       X1           72.000000         24.000000            8.000000       X2           64.000000          8.000000           16.000000                           RIGHTHAND SIDE RANGES  ROW        CURRENT    ALLOWABLE   ALLOWABLE                          RHS            INCREASE         DECREASE        2            50.000000         10.000000              6.666667        3          480.000000         53.333332            80.000000        4          100.000000         INFINITY          40.000000最优解不变时目标函最优解不变时目标函数系数允许变化范围数系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yesx1系数范围系数范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) • A1获利增加到获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 x1系数由系数由24  3=72增加增加为为30 3=90，，在在允许范围内允许范围内 不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)结果解释结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT  ALLOWABLE  ALLOWABLE                            COEF          INCREASE       DECREASE       X1           72.000000         24.000000            8.000000       X2           64.000000          8.000000           16.000000                           RIGHTHAND SIDE RANGES  ROW          CURRENT    ALLOWABLE   ALLOWABLE                          RHS             INCREASE           DECREASE        2            50.000000         10.000000              6.666667        3          480.000000         53.333332            80.000000        4          100.000000         INFINITY          40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 • 35元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2   奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 例例1给出的给出的A1、、A2两种奶制品的生产条件、利润、及两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的工厂的“资源资源”限制都不变，为增加工厂的获利，开限制都不变，为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用发了奶制品的深加工技术：用2小时和小时和3元加工费可将元加工费可将1公斤公斤A1加工成加工成0.8公斤的高级奶制品公斤的高级奶制品B1，也可将，也可将1公斤公斤A2加工成加工成0.75公斤的高级奶制品公斤的高级奶制品B2，每公斤，每公斤B1能获利能获利44元，每公斤元，每公斤B2能获利能获利32元。

试为该厂制定一个生产元试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：• 若投资若投资30元可增加元可增加1桶牛奶，投资桶牛奶，投资3元可增加元可增加1小时劳小时劳动时间，应否应做这些投资？现每天投资动时间，应否应做这些投资？现每天投资150元，可赚元，可赚回多少？回多少？• B1，，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对定制的计划有无的波动，对定制的计划有无影响？若每公斤影响？若每公斤B1的获利下降的获利下降10％，计划应该变化吗？％，计划应该变化吗？例例2   奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤A1 • 若投资若投资30元可增加元可增加1桶牛奶，投资桶牛奶，投资3元可增加元可增加1小时劳小时劳动时间，应否应做这些投资？现每天投资动时间，应否应做这些投资？现每天投资150元，可赚元，可赚回多少？回多少？• B1，，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对定制的计划有无的波动，对定制的计划有无影响？若每公斤影响？若每公斤B1的获利下降的获利下降10％，计划应该变化吗？％，计划应该变化吗？1桶桶牛奶牛奶  3千克千克 A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 A2 或或获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg  0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2，， X3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 x5千克千克 A1加工加工B1，， x6千克千克 A2加工加工B2附加约束附加约束 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO 6.1        OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)         3460.800  VARIABLE   VALUE    REDUCED COST        X1          0.000000          1.680000        X2      168.000000          0.000000        X3        19.200001          0.000000        X4          0.000000          0.000000        X5        24.000000          0.000000        X6         0.000000           1.520000ROW  SLACK OR SURPLUS  DUAL PRICES        2)         0.000000           3.160000        3)         0.000000           3.260000        4)       76.000000           0.000000        5)         0.000000         44.000000        6)         0.000000         32.000000 NO. ITERATIONS=       2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?  No         OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)         3460.800  VARIABLE   VALUE    REDUCED COST        X1         0.000000           1.680000        X2     168.000000           0.000000        X3       19.200001           0.000000        X4         0.000000           0.000000        X5       24.000000           0.000000        X6         0.000000          1.520000ROW   SLACK OR SURPLUS  DUAL PRICES        2)         0.000000           3.160000        3)         0.000000           3.260000        4)      76.000000            0.000000        5)         0.000000         44.000000        6)         0.000000         32.000000 NO. ITERATIONS=       2结果解释结果解释每天销售每天销售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1，， 利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，，将得到的将得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1 除加工能力外均除加工能力外均为紧约束为紧约束结果解释结果解释         OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)           3460.800  VARIABLE   VALUE    REDUCED COST        X1          0.000000           1.680000        X2      168.000000           0.000000        X3        19.200001          0.000000        X4          0.000000          0.000000        X5        24.000000          0.000000        X6          0.000000          1.520000ROW   SLACK OR SURPLUS  DUAL PRICES        2)         0.000000           3.160000        3)         0.000000           3.260000        4)       76.000000           0.000000        5)         0.000000         44.000000        6)         0.000000         32.000000增加增加1桶牛奶使利润增桶牛奶使利润增长长3.16×12=37.92增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间，应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元增加元增加5桶牛奶，桶牛奶，可赚回可赚回189.6元。

大于元大于增加时间的利润增长）增加时间的利润增长）结果解释结果解释B1,B2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影响的波动，对计划有无影响       RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE  CURRENT  ALLOWABLE  ALLOWABLE                           COEF         INCREASE        DECREASE          X1       24.000000         1.680000         INFINITY          X2       16.000000         8.150000         2.100000             X3       44.000000        19.750002         3.166667               X4       32.000000          2.026667         INFINITY          X5       -3.000000        15.800000         2.533334          X6       -3.000000         1.520000         INFINITY         …… ……DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?  YesB1获利下降获利下降10%，超，超出出X3 系数允许范围系数允许范围B2获利上升获利上升10%，超，超出出X4 系数允许范围系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。

计算，会发现结果有很大变化  自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少其他费用其他费用:450元元/千吨千吨 • 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ • 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例1 自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨 支出支出A：：50B：：60C：：50甲：甲：30；；50乙：乙：70；；70丙：丙：10；；20丁：丁：10；；40水水库库供供水水量量(千千吨吨)小小区区基基本本用用水水量量(千千吨吨)小小区区额额外外用用水水量量(千千吨吨)（以天计）（以天计）总供水量：总供水量：160确定送水方案使利润最大确定送水方案使利润最大问题问题分析分析A：：50B：：60C：：50甲：甲：30；；50乙：乙：70；；70丙：丙：10；；20丁：丁：10；；40< 总需求量：总需求量：120+180=300总收入总收入900 160=144,000(元元) 收入：收入：900元元/千吨千吨 其他费用其他费用:450元元/千吨千吨 支出支出引水管理费引水管理费其他支出其他支出450 160=72,000(元元) 使引水管理费最小使引水管理费最小供应供应限制限制约束约束条件条件需求需求限制限制 线性线性规划规划模型模型(LP)目标目标函数函数 水库水库i 向向j 区的日供水量为区的日供水量为 xij（（x34=0））决策变量决策变量 模型建立模型建立 确定确定3个水库向个水库向4个小区的供水量个小区的供水量 模型求解模型求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)         24400.00  VARIABLE  VALUE   REDUCED COST       X11         0.000000         30.000000       X12       50.000000           0.000000       X13         0.000000         50.000000       X14         0.000000         20.000000       X21         0.000000         10.000000       X22       50.000000           0.000000       X23         0.000000         20.000000       X24       10.000000          0.000000       X31       40.000000         0.000000       X32         0.000000        10.000000       X33       10.000000          0.000000 利利润润=总总收收入入-其其它它费费用用 -引引 水水 管管 理理 费费=144000-72000-24400 = 47600（元）（元） A(50)B(60)C(50)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)5050401010引水管理费引水管理费 24400(元元)目标目标函数函数 总供水量总供水量(320) > 总需求量总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润  = 收入收入(900) –其它费用其它费用(450) –引水管理费引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/供应供应限制限制B, C 类似处理类似处理问题讨论问题讨论 确定送水方案使利润最大确定送水方案使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)          88700.00  VARIABLE   VALUE   REDUCED COST       X11          0.000000         20.000000       X12      100.000000           0.000000       X13          0.000000         40.000000       X14          0.000000         20.000000       X21        30.000000          0.000000       X22        40.000000          0.000000       X23         0.000000         10.000000       X24        50.000000          0.000000       X31        50.000000          0.000000       X32         0.000000         20.000000       X33        30.000000          0.000000 这类问题一般称为这类问题一般称为“运输问题运输问题”(Transportation Problem)总利润总利润 88700（元）（元） A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何装运，如何装运，使本次飞行使本次飞行获利最大？获利最大？  三个货舱三个货舱最大最大载载重重( (吨吨),),最大容积最大容积( (米米3 3) ) 例例2  货机装运货机装运 重量（吨）重量（吨）空间空间( 米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 前仓：前仓：10；；6800中仓：中仓：16；；8700后仓：后仓：8；；5300飞机平衡飞机平衡决策决策变量变量 xij--第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量(吨）吨）i=1,2,3,4,  j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立模型建立 货舱货舱容积容积 目标目标函数函数( (利润利润)约束约束条件条件货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 10；；680016；；87008；；5300xij--第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量约束约束条件条件平衡平衡要求要求 货物货物供应供应 货机装运货机装运模型建立模型建立 10；；680016；；87008；；5300xij--第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量  OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)          121515.8 VARIABLE   VALUE    REDUCED COST       X11         0.000000        400.000000       X12         0.000000          57.894737       X13         0.000000        400.000000       X21       10.000000            0.000000       X22         0.000000        239.473679       X23         5.000000           0.000000       X31         0.000000           0.000000       X32       12.947369           0.000000       X33         3.000000           0.000000       X41         0.000000       650.000000       X42         3.052632          0.000000       X43         0.000000       650.000000 货物货物2：前仓：前仓10,后仓后仓5；； 货物货物3: 中仓中仓13, 后仓后仓3；；货物货物4: 中仓中仓3。

货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利润约121516元元货物货物~供应点供应点货舱货舱~需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立             小型小型     中型中型     大型大型     现有现有量量钢材钢材     1.5          3           5           600时间时间    280       250       400        60000利润利润     2            3           4                      线性线性规划规划模型模型(LP)模型模型求解求解 3）） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3  均为整数，重新求解均为整数，重新求解  OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)         632.2581VARIABLE   VALUE            REDUCED COST        X1        64.516129                      0.000000        X2      167.741928                      0.000000        X3          0.000000                      0.946237 ROW   SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES        2)          0.000000                        0.731183        3)          0.000000                        0.003226结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。

相差不大2））试试探探：：如如取取x1=65，，x2=167；；x1=64，，x2=168等等，，计计算算函函数数值值z，通过比较可能得到更优的解通过比较可能得到更优的解•  但必须检验它们是否满足约束条件为什么？但必须检验它们是否满足约束条件为什么？IP可用可用LINDO直接求解直接求解整数规划整数规划(Integer Programming,简记简记IP)“gin 3”表示表示“前前3个变量为个变量为整数整数”，等价于：，等价于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最优解的最优解x1=64，，x2=168，，x3=0，最优值，最优值z=632  max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)         632.0000VARIABLE  VALUE   REDUCED COST        X1         64.000000          -2.000000        X2       168.000000          -3.000000        X3           0.000000          -4.000000 模型求解模型求解 IP 结果输出结果输出其中其中3个子模型应去掉，然后个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 • 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。

辆，求生产计划x1,x2,, x3=0 或或  80   x1=80，，x2= 150，，x3=0，最优值，最优值z=610LINDO中中 对对 0-1变量的限定：变量的限定：int y1int y2int y3 方法方法2：引入：引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划 M为大的正数，为大的正数，可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)          610.0000VARIABLE  VALUE   REDUCED COST        X1        80.000000         -2.000000        X2      150.000000         -3.000000        X3          0.000000         -4.000000        Y1          1.000000          0.000000        Y2          1.000000          0.000000        Y3          0.000000          0.000000 • 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。

辆，求生产计划x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80最优解同前最优解同前 NLP虽虽然然可可用用现现成成的的数数学学软软件件求求解解(如如LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择但是其结果常依赖于初值的选择 方法方法3：化为非线性规划：化为非线性规划 非线性规划（非线性规划（Non- Linear Programming，简记，简记NLP）） 实实践践表表明明，，本本例例仅仅当当初初值值非非常常接接近近上上面面方方法法算算出出的最优解时，才能得到正确的结果的最优解时，才能得到正确的结果 • 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划辆，求生产计划 x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工 ？？  例例2   原油采购与加工原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A：：• 购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/吨；吨；• 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的     部分部分8000元元/吨；吨；• 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/吨。

吨 售价售价4800元元/吨吨 售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 汽油甲汽油甲(A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 • 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 - 购买原油购买原油A的支出的支出• 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 购买购买xx11x12x21x224.8千元千元/吨吨 5.6千元千元/吨吨原油原油A的购买量的购买量,原油原油A, B生产汽油甲生产汽油甲,乙的数量乙的数量c(x) ~ 购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？原油供应原油供应 约束约束条件条件• x  500吨单价为吨单价为10千元千元/吨；吨；• 500吨吨  x  1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千元千元/吨；吨；•1000吨吨  x  1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千元千元/吨 目标目标函数函数购买购买x A B x11x12x21x22库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 Ø 目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划；Ø 对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；件也难以输入和求解；Ø 想办法将模型化简，用现成的软件求解。

想办法将模型化简，用现成的软件求解 汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制 约束约束条件条件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22x1 , x2 , x3 ~以价格以价格10, 8, 6(千元千元/吨吨)采购采购A的吨数的吨数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500(吨吨)时，才能以时，才能以8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2方法方法1 非线性规划模型，可以用非线性规划模型，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3 • 500吨吨  x  1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千元千元/吨吨增加约束增加约束x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3 方法方法1：：LINGO求解求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 < x + 500;x21+x22 < 1000;x11 - x21 > 0;  2*x12 - 3*x22 > 0;x=x1+x2+x3;     (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 < 500;x2 < 500;x3 < 500;x > 0;x11 > 0;x12 > 0;x21 > 0;x22 > 0;x1 > 0;x2 > 0;x3 > 0;end Objective value:     4800.000Variable    Value            Reduced  CostX11        500.0000            0.0000000E+00X21        500.0000            0.0000000E+00X12  0.0000000E+00       0.0000000E+00X22  0.0000000E+00       0.0000000E+00 X1   0.1021405E-13      10.00000 X2   0.0000000E+00       8.000000 X3   0.0000000E+00       6.000000  X    0.0000000E+00       0.0000000E+00 LINGO得到的是局部最优解，还得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？ 用库存的用库存的500吨原油吨原油A、、500吨原油吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油A，，利润为利润为4,800千元。

千元 y1, y2 , y3=1 ~以价格以价格10, 8, 6(千元千元/吨吨)采购采购A增增加加约约束束方法方法2 0-1线性规划模型，可用线性规划模型，可用LINDO求解求解y1,y2,y3 =0或或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)             5000.000  VARIABLE      VALUE      REDUCED COST        Y1            1.000000             0.000000        Y2            1.000000       2200.000000        Y3            1.000000       1200.000000       X11            0.000000            0.800000       X21            0.000000            0.800000       X12      1500.000000            0.000000       X22      1000.000000            0.000000        X1         500.000000            0.000000        X2         500.000000            0.000000        X3             0.000000            0.400000         X       1000.000000             0.000000 购买购买1000吨原油吨原油A，与，与库存的库存的500吨原油吨原油A和和1000吨原油吨原油B一起，生一起，生产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000千元千元 。

x1 , x2 , x3 ~以价格以价格10, 8, 6(千元千元/吨吨)采购采购A的吨数的吨数y=0  x=0x>0  y=1优于方法优于方法1的结果的结果b1            b2       b3         b4方法方法3 b1  x b2，，x= z1b1+z2b2，，z1+z2=1，，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2   x  b3，，x= z2b2+z3b3，， z2+z3=1，，z2, z3   0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3   x  b4，，x= z3b3+z4b4，，z3+z4=1，，z3, z4   0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4).  直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x) IP模型，模型，LINDO求求解，得到的结果与解，得到的结果与方法方法2相同相同.处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性bk x bk+1yk=1,否则否则,yk=0方法方法3 bk x bk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，，zk, zk+1  0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1            b2       b3         b4对于对于k=1,2,3分派问题分派问题 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。

派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 100米混合泳接力队米混合泳接力队?例例1  混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔  甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳自由泳58”653”59”457”21’02”45名候选人的百米成绩名候选人的百米成绩穷举法：组成接力队的方案共有穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1, 否则记否则记xij=0 0-1规划模型规划模型 cij(秒秒)~队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1人人 模型求解模型求解 最最优优解解：：x14 = x21 = x32 = x43 = 1,  其它变量为其它变量为0;成绩为成绩为253.2(秒秒)=4’13”2  MIN  66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14    +… …    +67.4x51+71  x52+83.8x53+62.4x54SUBJECT TO     x11+x12+x13+x14 <=1     … …     x41+x42+x43+x44 <=1     x11+x21+x31+x41+x51 =1     … …     x14+x24+x34+x44+x54 =1END  INT 20 输入输入LINDO求解求解  甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳自由泳58”653”59”457”21’02”4甲甲~ 自由泳、乙自由泳、乙~ 蝶泳、蝶泳、丙丙~ 仰泳、丁仰泳、丁~ 蛙泳蛙泳.丁蛙泳丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54=62.4  57.5, 方案是否调整？方案是否调整？ 敏感性分析？敏感性分析？乙乙~ 蝶泳、丙蝶泳、丙~ 仰泳、仰泳、丁丁~ 蛙泳、戊蛙泳、戊~ 自由泳自由泳IP规划一般没有与规划一般没有与LP规划相类似的理论，规划相类似的理论，LINDO输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。

输出的敏感性分析结果通常是没有意义的最优解：最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1,  成绩为成绩为4’17”7 c43, c54 的新数据重新输入模型，用的新数据重新输入模型，用LINDO求解求解 指派指派(Assignment)问题：问题：每项任务有且只有一人承担，每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大. 讨论讨论甲甲~ 自由泳、乙自由泳、乙~ 蝶泳、蝶泳、丙丙~ 仰泳、丁仰泳、丁~ 蛙泳蛙泳.原原方方案案为了选修课程门数最少，应学习哪些课程为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？？  例例2   选课策略选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课  课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求先修课要求1微积分微积分5数学数学 2线性代数线性代数4数学数学 3最优化方法最优化方法4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构3数学；计算机数学；计算机计算机编程计算机编程5应用统计应用统计4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟3计算机；运筹学计算机；运筹学计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程2计算机计算机 8预测理论预测理论2运筹学运筹学应用统计应用统计9数学实验数学实验3运筹学；计算机运筹学；计算机微积分；线性代数微积分；线性代数选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？？  0-1规划模型规划模型 决策变量决策变量 目标函数目标函数 xi=1 ~选修课号选修课号i 的的课程（课程（xi=0 ~不选）不选） 选修课程总数最少选修课程总数最少 约束条件约束条件最少最少2门数学课，门数学课，3门运筹学课，门运筹学课，2门计算机课。

门计算机课 课号课号课名课名所属类别所属类别1微积分微积分数学数学2线性代数线性代数数学数学3最优化方法最优化方法数学；运筹学数学；运筹学4数据结构数据结构数学；计算机数学；计算机5应用统计应用统计数学；运筹学数学；运筹学6计算机模拟计算机模拟计算机；运筹学计算机；运筹学7计算机编程计算机编程计算机计算机8预测理论预测理论运筹学运筹学9数学实验数学实验运筹学；计算机运筹学；计算机先修课程要求先修课程要求最优解：最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为其它为0；；6门课程，总学分门课程，总学分21 0-1规划模型规划模型 约束条件约束条件x3=1必有必有x1 = x2 =1模型求解（模型求解（LINDO））      课号课号课名课名先修课要求先修课要求1微积分微积分 2线性代数线性代数 3最优化方法最优化方法微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构计算机编程计算机编程5应用统计应用统计微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程 8预测理论预测理论应用统计应用统计9数学实验数学实验微积分；线性代数微积分；线性代数学分最多学分最多多目标优化的处理方法：化成单目标优化。

多目标优化的处理方法：化成单目标优化两目标两目标(多目标多目标)规划规划 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？  课程最少课程最少 • 以学分最多为目标，不以学分最多为目标，不管课程多少管课程多少• 以课程最少为目标，不以课程最少为目标，不管学分多少管学分多少最优解如上，最优解如上，6门课门课程，总学分程，总学分21 最优解显然是选修所最优解显然是选修所有有9门课程门课程 多目标规划多目标规划 • 在课程最少的前提下在课程最少的前提下以学分最多为目标以学分最多为目标最优解：最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为其它为0；总；总学分由学分由21增至增至22注意：最优解不唯一！注意：最优解不唯一！课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3            LINDO无法告诉优化无法告诉优化问题的解是否唯一。

问题的解是否唯一可将可将x9 =1 易为易为x6 =1增加约束增加约束           ，，以学分最多为目标求解以学分最多为目标求解多目标规划多目标规划 • 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开 最优解：最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1，，其它为其它为0；总学分；总学分28课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3        讨论与思考讨论与思考最优解与最优解与 1=0，， 2=1的结果相同的结果相同——学分最多学分最多多目标规划多目标规划 最优解与最优解与 1=1，， 2=0的结果相同的结果相同——课程最少课程最少饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修单阶段生产计划单阶段生产计划多阶段生产计划多阶段生产计划• 生产批量问题生产批量问题• 企业生产计划企业生产计划考虑与产量无关的固定费用考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部外部需求和内部资源随时间变化资源随时间变化问题分析问题分析• 除第除第4周外每周的生产周外每周的生产能力超过每周的需求；能力超过每周的需求；• 生产成本逐周上升；生产成本逐周上升；•前几周应多生产一些。

前几周应多生产一些 周次周次需求需求能力能力11530225403354542520合计合计100135成本成本5.05.15.45.5 • 饮料厂在第饮料厂在第1周开始时没有库存；周开始时没有库存； • 从费用最小考虑从费用最小考虑, 第第4周末不能有库存；周末不能有库存； • 周末有库存时需支出一周的存贮费；周末有库存时需支出一周的存贮费； • 每周末的库存量等于下周初的库存量每周末的库存量等于下周初的库存量 模模型型假假设设 目标目标函数函数约束约束条件条件产量、库存与需求平衡产量、库存与需求平衡 决策变量决策变量 能力限制能力限制 非负限制非负限制 模型建立模型建立x1~ x4：第：第1~4周的生产量周的生产量y1~ y3：第：第1~3周末库存量周末库存量周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5存贮费存贮费:0.2 (千元千元/周周•千箱千箱) 模型求解模型求解 4周生产计划的总费用为周生产计划的总费用为528 (千元千元) 最优解：最优解： x1~ x4：：15，，40，，25，，20；；                  y1~ y3：： 0，，15，，5 .周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5产量产量15402520库存库存01550LINDO求解求解检修计划检修计划0-1变量变量wt ：：wt=1~ 检修安排检修安排在第在第t周周(t=1,2,3,4））• 在在4周内安排一次设备检修，占用当周周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使千箱生产能力，能使检修后每周增产检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周千箱，检修应排在哪一周? 检修安排在任一周均可检修安排在任一周均可周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5约束条件约束条件能能力力限限制制 产量、库存产量、库存与需求平衡与需求平衡条件不变条件不变 增加约束条件：检修增加约束条件：检修1次次检修计划检修计划目标函数不变目标函数不变0-1变量变量wt ：：wt=1~ 检修检修安排在第安排在第t周周(t=1,2,3,4））LINDO求解求解总费用由总费用由528千元降为千元降为527千元千元检修所导致的生产能力提高的作用检修所导致的生产能力提高的作用, 需要更长的时间才能得到充分体现。

需要更长的时间才能得到充分体现 最优解：最优解： w1=1, w2 , w3,  w4=0; x1~ x4：：15,45,15,25；；                  y1~ y3：：0,20,0 .例例2   饮料的生产批量问题饮料的生产批量问题 • 安排生产计划安排生产计划, 满足每周的需求满足每周的需求,  使使4周总费用最小周总费用最小存贮费存贮费:每周每千箱饮料每周每千箱饮料 0.2千元 饮料厂使用同一条生产线轮流生产饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种多种饮料若某周开工生产若某周开工生产某种某种饮料饮料, 需支出需支出生产准备费生产准备费8千元 某种饮料某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周的需求量、生产能力和成本周次周次需求量需求量(千箱千箱)生产能力生产能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计合计100135 生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法ct ~时段时段t 生产费用生产费用(元元/件件)；；ht ~时段时段t (末末)库存费库存费(元元/件件)；；st ~时段时段t 生产准备费生产准备费(元元)；；dt ~时段时段t 市场需求市场需求(件件)；；Mt ~时段时段t 生产能力生产能力(件件)。

假设初始库存为假设初始库存为0制订生产计划制订生产计划, 满足满足需求需求,并使并使T个时段个时段的总费用最小的总费用最小决策变量决策变量 xt ~时段时段t 生产量；生产量；yt ~时段时段t (末末)库存量；库存量；wt =1 ~时段时段t 开工生产开工生产 (wt =0 ~不开工不开工)目标目标约束约束混合混合0-1规划模型规划模型 最优解：最优解：x1~ x4：：15，，40，，45，，0；总费用：；总费用：554.0(千元千元) 生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法将所给参数代入模型，用将所给参数代入模型，用LINDO求解求解生产中通过切割、剪裁、冲压等生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小手段，将原材料加工成所需大小钢管和易拉罐下料钢管和易拉罐下料原料下料问题原料下料问题按照工艺要求，确定下料方案，按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大使所用材料最省，或利润最大问题问题1.  如何下料最节省如何下料最节省 ? 例例1 钢管下料钢管下料 问题问题2.  客户增加需求：客户增加需求：原料钢管原料钢管: :每根每根19米米 4米米50根根 6米米20根根 8米米15根根 客户需求客户需求节省的标准是什么？节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过规定切割模式不能超过3种。

如何下料最节省？种如何下料最节省？5米米10根根 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合 切割模切割模式式余料余料1 1米米 4米米1根根 6米米1根根 8米米1根根 余料余料3米米 4米米1根根 6米米1根根 6米米1根根 合理切割模式合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料余料3米米 8米米1根根 8米米1根根 钢管下料钢管下料 为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式合理切割模式2. 所用原料钢管总根数最少所用原料钢管总根数最少 模式模式 4米钢管根数米钢管根数6米钢管根数米钢管根数8米钢管根数米钢管根数余料余料(米米)14003231013201341203511116030170023钢管下料问题钢管下料问题1 1 两种两种标准标准1. 原料钢管剩余总余量最小原料钢管剩余总余量最小xi ~按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数( (i= =1,2,…7) ) 约束约束满足需求满足需求 决策决策变量变量 目标目标1（总余量）（总余量）按模式按模式2切割切割12根根, ,按模式按模式5切割切割15根，余料根，余料27米米 模模式式4米米根数根数6米米根数根数8米米根数根数余余料料14003231013201341203511116030170023需需求求502015最优解：最优解：x2=12, x5=15,                  其余为其余为0；；最优值：最优值：27。

整数约束：整数约束： xi 为整数为整数当余料没有用处时，当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标通常以总根数最少为目标 目标目标2（总根数）（总根数）钢管下料问题钢管下料问题1 1 约束条约束条件不变件不变 最优解：最优解：x2=15,  x5=5,  x7=5, 其余为其余为0；；最优值：最优值：25xi 为整数按模式按模式2切割切割15根，根，按模式按模式5切割切割5根，根，按模式按模式7切割切割5根，根，共共25根，余料根，余料35米米 虽余料增加虽余料增加8米，但减少了米，但减少了2根根 与与目标目标1的结果的结果“共切割共切割27根，余料根，余料27米米” 相比相比 钢管下料问题钢管下料问题2对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式增加一种需求：增加一种需求：5米米10根；切割根；切割模式不超过模式不超过3种现有现有4种种需求：需求：4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂决策变量决策变量 xi ~按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数( (i= =1,2,3) ) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第第i 种切割模式下，每根原料钢管种切割模式下，每根原料钢管生产生产4米、米、5米、米、6米和米和8米长的钢管的数量米长的钢管的数量满足需求满足需求模式合理：每根模式合理：每根余料不超过余料不超过3米米整数非线性规划模型整数非线性规划模型钢管下料问题钢管下料问题2目标函数（目标函数（总根数）总根数）约束约束条件条件整数约束：整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i ( (i= =1,2,3) )为整为整数数增加约束，缩小可行域，便于求解增加约束，缩小可行域，便于求解原料钢管总根数下界：原料钢管总根数下界： 特殊生产计划：对每根原料钢管特殊生产计划：对每根原料钢管模式模式1：切割成：切割成4根根4米钢管，需米钢管，需13根；根；模式模式2：切割成：切割成1根根5米和米和2根根6米钢管，需米钢管，需10根；根；模式模式3：切割成：切割成2根根8米钢管，需米钢管，需8根。

根原料钢管总根数上界：原料钢管总根数上界：13+10+8=31 模式排列顺序可任定模式排列顺序可任定 钢管下料问题钢管下料问题2需求：需求：4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根根每根原料钢管长每根原料钢管长19米米LINGO求解整数非线性规划模型求解整数非线性规划模型Local optimal solution found at iteration:          12211  Objective value:           28.00000Variable   Value      Reduced CostX1          10.00000            0.000000X2          10.00000            2.000000X3          8.000000            1.000000R11        3.000000            0.000000R12        2.000000            0.000000R13        0.000000            0.000000R21        0.000000            0.000000R22        1.000000            0.000000                            R23        0.000000            0.000000                            R31        1.000000            0.000000                           R32        1.000000            0.000000                            R33        0.000000            0.000000                            R41        0.000000            0.000000                            R42        0.000000            0.000000                            R43        2.000000            0.000000 模式模式1：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成3根根4米和米和1根根6米钢管，共米钢管，共10根；根；模式模式2：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根4米、米、1根根5米和米和1根根6米钢管，米钢管，共共10根；根；模式模式3：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根8米钢管，共米钢管，共8根。

根原料钢管总根数为原料钢管总根数为28根板材板材规格规格2：：长方形，长方形，32 28cm，，2万张例例2 易拉罐下料易拉罐下料每周工作每周工作40小时，每只易拉罐利润小时，每只易拉罐利润0.10元，原料余料损失元，原料余料损失0.001元元 / cm2（不能装配的罐身、（不能装配的罐身、盖、盖、底也是余料）底也是余料） 模式模式1：：1.5秒秒模式模式2：：2秒秒模式模式3：：1秒秒模式模式4：：3秒秒上盖上盖下底下底罐罐身身罐身高罐身高10cm，，上上盖盖、下底直、下底直径均径均5cm 板材规格板材规格1：：正方形，边长正方形，边长24cm，，5万张如何安排每周生产？如何安排每周生产？  罐身个数罐身个数底、盖底、盖个数个数余料损失余料损失（（cm2））冲压时间冲压时间（秒）（秒）模式模式1110222.61.5模式模式224183.32模式模式3016261.81模式模式445169.53模式模式1: 正方形正方形边长边长24cm 问题分析问题分析计算各种模式下的余料损失计算各种模式下的余料损失 上、下底直径上、下底直径d=5cm，，罐身高罐身高h=10cm 模式模式1 余料损失余料损失 242-10  d2/4 -  dh=222.6 cm2问题分析问题分析目标目标: :易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大 约束：约束：每周工作时间不超过每周工作时间不超过40小时；小时；            原料数量：原料数量：规格规格1（模式（模式1 ~3））5万张，万张， 规格规格2（模式（模式4））2万张；万张；            罐身和底、盖的配套组装罐身和底、盖的配套组装 。

注意：不能装配的罐身、上下底也是余料注意：不能装配的罐身、上下底也是余料决策决策变量变量 xi ~ 按照第按照第i 种模式的生产张数种模式的生产张数( (i= =1,2,3,4) )；；y1 ~ 一周生产的易拉罐个数；一周生产的易拉罐个数；y2 ~ 不配套的罐身个数；不配套的罐身个数；y3 ~ 不配套的底、盖个数不配套的底、盖个数 模型建立模型建立目标目标 约束约束条件条件 时间约束时间约束 原料约束原料约束 产量产量余料余料时间时间x1222.61.5x2183.32x3261.81x4169.53模型建立模型建立y1 ~ 易拉罐个数；易拉罐个数；y2 ~ 不配套的罐身；不配套的罐身；y3 ~ 不配套的底、盖不配套的底、盖每只易拉罐利润每只易拉罐利润0.10元，元，余料损失余料损失0.001元元 / cm2罐身罐身面积面积 dh=157.1 cm2 底盖底盖面积面积 d2/4=19.6 cm2(40小时小时)约束约束条件条件 配套约束配套约束 y1 ~ 易拉罐个数；易拉罐个数；y2 ~ 不配套的罐身；不配套的罐身；y3 ~ 不配套的底、盖不配套的底、盖罐身罐身底、盖底、盖1102401645产量产量x1x2x3x4虽然虽然xi和和y1，，y2，，y3应是整数，但是因生产量很大，应是整数，但是因生产量很大，可以把它们看成实数，从而用线性规划模型处理可以把它们看成实数，从而用线性规划模型处理 。

将所有决策变量扩大将所有决策变量扩大10000倍（倍（xi ~万张，万张，yi ~万件）万件） LINDO发出警告信息：发出警告信息：“数据之间的数量级差别太数据之间的数量级差别太大，建议进行预处理，缩小数据之间的差别大，建议进行预处理，缩小数据之间的差别”模式模式2生产生产40125张，张，模式模式3生产生产3750张，张，模式模式4生产生产20000张，张，共产易拉罐共产易拉罐160250个个( (罐身和底、盖无剩余罐身和底、盖无剩余) )，，净利润为净利润为4298元元 模型求解模型求解        OBJECTIVE FUNCTION VALUE        1)          0.4298337VARIABLE  VALUE   REDUCED COST        Y1       16.025000          0.000000        X1         0.000000          0.000050        X2         4.012500          0.000000        X3         0.375000          0.000000        X4         2.000000          0.000000        Y2         0.000000          0.223331        Y3         0.000000          0.036484 下料问题的建模下料问题的建模 • 确定下料模式确定下料模式 • 构造优化模型构造优化模型 规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用缩小缩小可行域可行域的方法进行化简，但要保证最优解的存在。

的方法进行化简，但要保证最优解的存在一维问题（如钢管下料）一维问题（如钢管下料）二维问题（如易拉罐下料）二维问题（如易拉罐下料）具体问题具体分析（比较复杂具体问题具体分析（比较复杂 ））钢管的订购和运输钢管的订购和运输i1234567si80080010002000200020003000pi160155155160155150160作业、讨论问题：作业、讨论问题： 一单位钢管的铁路运价如下表一单位钢管的铁路运价如下表：：里程km301～350351～400401～450451～500运价万元2023262932里程km501～600601～700701～800801～900901～1000运价万元3744505560图1图2116 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！。