用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案.pdf

精品资料欢迎下载用导数研究函数的恒成立与存在问题1已知函数23( )2lnxf xxxa，其中a为常数（1）若1a，求函数( )f x的单调区间；（2）若函数( )f x在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围2已知函数32( )4()f xxaxaR，( )fx是( )f x的导函数1）当2a时，对于任意的 1,1m， 1,1n，求()( )f mfn的最小值；（2）若存在0(0,)x，使0()fx0，求a的取值范围精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载3已知函数xaxxfln)()(Ra. （1）若2a，求曲线)(xfy在点1x处的切线方程；（2）求)(xf的单调区间；（3）设22)(2xxxg，若对任意1(0,)x，均存在1 ,02x，使得)()(21xgxf，求实数a的取值范围 . 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载4 （2016 届惠州二模）已知函数22lnfxxx（）求函数fx的最大值；（）若函数fx与ag xxx有相同极值点 求实数a的值； 对121,3x xe(e为自然对数的底数)，不等式1211fxg xk恒成立，求实数k的取值范围精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载5已知函数212( )()ln()f xaxx aR（1）当1a时，01 , xe使不等式0()f xm，求实数m的取值范围；（ 2）若在区间1 ( ,)，函数( )f x的图象恒在直线2yax的下方，求实数a的取值范围精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载用导数研究函数的恒成立与存在问题答案1解： (1)若 a1，则 f(x)3x2x2ln x，定义域为 (0， )，f(x)1x4x34x23x1x 4x1 x1x(x0)当 x(0,1)时， f(x)0，函数 f(x)3x2x2ln x 单调递增当 x(1，)时， f(x)0，函数 f(x)3x2x2ln x 单调递减，即 f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，)(2)f(x)3a 4x1x. 若函数 f(x)在区间 1,2 上为单调函数，即在 1,2上， f(x)3a4x1x0 或 f(x)3a4x1x0，即3a 4x1x0 或3a4x1x0 在1,2上恒成立即3a 4x1x或3a4x1x. 令 h(x)4x1x，因为函数h(x)在1,2 上单调递增，所以3ah(2)或3ah(1)，即3a152或3a3，解得 a0 或 0a25或 a1. 故 a 的取值范围是(，0)(0，251， )2. 解： （ 1）由题意知.43)( ,42)(223xxxfxxxf令.340,0)( 或得xxf当x在-1 ，1 上变化时，)(),( xfxf随x的变化情况如下表：x -1 （-1 ，0）0 （0，1）1 )( xf-7 - 0 + 1 )(xf-1 -4 -3 )(,1 , 1mfm对于的最小值为,4)0(fxxxf43)( 2的对称轴为32x，且抛物线开口向下, )( ,1 , 1nfn对于的最小值为.7)1( f)( )(nfmf的最小值为 -11. （2）)32(3)( axxxf.若0)( ,0, 0 xfxa时当, ,0)(在xf上单调递减，又. 4)(,0, 4)0(xfxf时则当.0)(, 0,000 xfxa使不存在时当若, 0)( ,320,0 xfaxa时则当当.0)( ,32xfax时精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载从而32,0)(在xf上单调递增，在,32a上单调递减，494278)32()(),0(33maxaaafxfx时，当，则.3,27,0427433aaa解得即综上，a的取值范围是).,3( ( 或由020004, 0)(,0 xxaxfx得, 用两种方法可解) 3 解： （1）由已知120( )()fxxx，1213( )f，故曲线( )yf x在1x处切线的斜率为3而12( )f，所以切点为1 2( , )，)(xfy在点1x处的切线方程为31yx（2）110( )()axfxaxxx当0a时，由于0 x，故10ax，所以0( )fx，( )f x的单调递增区间为0( ,). 当0a时，由0( )fx， 得1xa. 在区间10( ,)a上，0( )fx， 在区间1(,)a上0( )fx，所以，函数的单调递增区间为10( ,)a，单调递减区间为1(,)a. （3）由已知，问题等价于为maxmax( )( )fxg x. 其中( )2maxg x由 (2) 知，当0a时，( )f x在0( ,)上单调递增，值域为R，故不符合题意. (或者举出反例：存在3332()f eae，故不符合题意.) 当0a时，( )f x在10( ,)a上单调递增，在1(,)a上单调递减，故( )f x的极大值即为最大值，1111()ln()ln()faaa，所以21ln()a，解得31ae. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载4 解（）211220 xxfxxxxx，1分由0,0fxx得01x；由0,0fxx得1x. fx在0,1上为增函数，在1,上为减函数 . 2分函数fx的最大值为11f. 3分（）2,1aag xxgxxx. 由（ 1）知，1x是函数fx的极值点，又函数fx与ag xxx有相同极值点，1x是函数g x的极值点，110ga，解得1a. 4分经验证，当1a时，函数g x在1x时取到极小值，符合题意. 5 分2112,11,392ln 3fffee，易知2192ln 321e，即131fffe. 111minmax1,3 ,392ln 3,11xfxffxfe7 分由 知211,1g xxgxxx，当1,1xe时，0gx；当1,3x时，0gx. 故g x在1,1e上为减函数，在1,3上为增函数 . 11110,12,3333geggee，而11012,133egggee. 222minmax110,3 ,12,33xg xgg xge. 9分1当10k，即1k时，对于121,3xxe，不等式1211fxg xk恒成立12max1kfxg x12max1kfxg x. 1211123fxg xfg，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载3 12,1,1kkk又. 10分2当10k，即1k时，对于121,3x xe，不等式1211fxg xk恒成立12min1kfxg x12min1kfxg x. 1210373392ln 32ln 333fxg xfg，34342ln 3,1,2ln 333kkk又. 11分综上，所求实数k的取值范围为34,2ln 31,3. 12分5 【解】：(1)当 a1 时， f(x)12x2ln x(x0)，f(x)x1x，由 x 1，e，f(x)0 得函数 f(x)在区间 1，e为增函数，则当 x1，e时， f(x)12，112e2. 故要使 ? x01，e使不等式 f(x0)m 成立，只需m12即可 . (2)在区间 (1， )上，函数f(x)的图象恒在直线y2ax 的下方等价于对 ? x(1， )，f(x)2ax，即(a12)x2ln x2ax0 恒成立设 g(x)(a12)x22axln x(x1， )，则 g(x)(2a1)x2a1x(x1)(2a11x)当 x(1， )时， x10,01x1. 若 2a10，即 a12，g(x)0，函数 g(x)在区间 1， )上为减函数，则当? x (1， )时 g(x)g(1)a122a12a，只需12 a0，即当12a12时，g(x)(a12)x2ln x2ax0 恒成立若 0 2a11，即12a1 时，令 g (x)(x1)(2a11x)0 得 x12a11，函数 g(x)在区间1，12a1为减函数，12a1，为增函数，则 g(x)g12a1，不合题意若 2a11，即当 a1 时 g(x)0，函数 g(x)在区间 1， )为增函数，则 g(x)g(1)， )，不合题意综上可知：当12a12时 g(x)(a12)x2ln x2ax0 恒成立，即当12a12时，在区间 (1， )上函数 f(x)的图象恒在直线y2ax 的下方精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -。