第20讲 用导数研究函数的极值和最值（共2课时）(1).docx

第二十讲：用导数研究函数的极值和最值（共2课时）【学习目标】1. 掌握函数极值、极值点、最值、最值点的定义；2. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用 导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函 数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系；3. 能用导数研究函数的极值和最值相关的不等式、恒成立、函数零点等问题 【重点、难点】重点：求极值和最值的根本思想和根本过程；难点：在解决极值和最值等问题时，函数导数的灵活分析和应用知识梳理】1、 函数的极值（1） 函数极值的定义.设函数/（%）在点尤附近有定义，如果对1附近的所有点，都有 ，我们就说/（X是函数，（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）；如果对易附近的所有点，都有 ,我们就说/（气）是函数的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.极大值与极小值统称为 ・（2） 判断极值的方法.判断可导函数.人工）的极值的方法是：①如果在％附近的左侧f U） > 0 ,右侧f \x） < 0,那么/Oo）是极 值；②如果在玉）附近的左侧/*（x）<0,右侧/*（x）>0,那么/3。

是极 值；因此：函数在在玉）处取的极 值的一个常用必要条件是 ;充分条件是 ・（3） 极值点、最值点、零点，极值、最值、图像交点它们的区别是什么？2、 函数的最值（1） 一般地，如果在区间切,可上函数y = /（x）的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值.（2） 一般地，求函数/⑴在［可上的最大值与最小值的步骤如下：① 求函数了 3）在S，Z?）内的 ；② 将.广⑴的 和 比拟，其中最大的一个为 ;最小的一个为 3、导数与不等式、恒成立问、存在性问、零点问题等Vx G I. /(%) > g(x)恒成立=F(x) = /(x)-g(x)>o 恒成立 <=> F ⑴ En > •I. /(x) > g(x)成立女仁/, F(x) = f(x)-g(x)>0 成立 <=> F(x)max >0.4、求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法典题分析】 题型一：求函数的极值例1：求函数/（X）= 的极值.【方法规律】求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法.【题组练习】1 .函数/⑴的定义域为开区间(M),可导函数广⑴在(七妙内的图象如果所示, 那么函数六罚在开区间(人)内有极小值点()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2 .函数f(x) = alnx + x在尤=1处取得极值，那么a=()A. - B. -1 C. 0 2 2Y23. 画出函数的草图’并指出极值点情况。

74. 己知函数/(%) = x3 + or2 +版+在工=——与工=1时都取得极值.(1) 求的值;(2)求函数六X)的单调区间.5、求函数/(x) = sin 2x +2sinx, xg[0,tt]的极值和极值点.题型二：求函数的最值 例2：求/(x) = x3-3x2+2在区间［-1,1］上的最大值例 3： (20XX 北京)函数 f(x) = ex cosx-x.(I) 求曲线y = /(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(II) 求函数./*⑴在区间［0,y］的最大值和最小值.【方法规律】求/(X)在切,可上的最值可按如下思路进行：(1) 求/⑴在()内的极值，将/⑴的各极值与比拟，确定/*3)的 最大值和最小值；(2) 求出所有导数为零的点对应的函数值，直接与端点的函数值比拟即可获得；(3) 求极值或最值，必要时，屡次构造函数或求导.【题组练习】1 .函数y = •? 2工2 +尤,工e [0,2]的值域为 ・2. 函数y = x\nx在定义域内有( )A.最大值为-！ B.最小值为-L C.最大值为e D.最小值为ee e3. (20XX 新课标 2 文 21)函数 f(x) = ]nx+a(l-x).(0)讨论的单调性；(0)当f(x)有最大值，且最大值大于2q-2时，求。

的取值范围.题型三：利用导数研究综合问题例 4: (202X 全国 I 文 20)函数/(x) = eA -a(x+2).(1)当〃 =1时，讨论f()的单调性；(2)假设f)有两个零点，求的范围.例5: (202X全国2文21)函数/(x) = 21nx + l.(1)假设/W<2x + c,求c的取值范围；x-a* (2)设>0,讨论函数ga)= m()的单调性.【方法规律】①用导数研究不等式、恒成立、函数零点、存在性问题等问题，本质是研究函数 的极值、最值，要突出转化思想的运用；②这类题目往往作为压轴题，要求较高 的综合能力，覆盖数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想的综合应用.【题组练习】1、 设函数兀0 =破3 一3X+1对于任意xg[-1,1]都有/(X)> 0成立，那么实数的值为 ・2、 设/(x)> g(x)是R上的可导函数,f *(x),g*(x)分别是/(x),g(x)的导函数，且f \x)g(x) 4- f(x)g *(x) < 0 ,贝 ij 当 qvxvZ?时，有( )* .f(x)g(b) > f(h)g(x) B. f(x)g(a) > f(a)g(x)C・ /(x)g(x) > f(b)g(b) D. f(x)g(x) > f(a)g(a)3. 假设。

>0,Z?>0,那么函数f(x) = 4x3 -cue2 -2bx +2在工=1处有极值，那么沥的最大值等于( ) B. 3 C. 6 D. 94. 己知两个函数 f(x) = 7x2 - 2Sx-c , g(x) = 2x3 + 4x2 -40x.假设 X/石 e[-3,3], 易e[-3,3],都有J(易)成立，求实数c、的取值范围.5、 (202X 全国 2 理) 己知函数/(x) = sin2xsin2x.(1) 讨论在区间(0事)的单调性；(2) 证明：|/(x)|<^;(3) 设 neN*,证明：sin2 xsin2 2xsin2 4x- • -sin2 2nx<^.【课堂小结】 本节课你收获什么？。