30度45度60度角的三角函数值教案.doc

30°，45°，60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点1．经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．2．能够进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算．3．能够根据 30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．(二)思维训练要求1．经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力．2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教具重点1．探索 30°、45°、60°角的三角函数值．2．能够进行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算．3．比较锐角三角函数值的大小．教学难点进一步体会三角函数的意义．教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含 30°和 60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度．(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢 C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出 AB 的长度，BE 的长度，因为 DE＝AB，所以只需在 Rt△CDA 中求出 CD的长度即可．[生]在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，AD ＝BE，BE 是已知的，设 BE＝a 米，则 AD＝ a 米，如何求 CD 呢？[生]含 30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即 AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD )2＝CD 2＋a 2，CD＝ a．3则树的高度即可求出．[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出 30°的正切值，在上图中，tan30°＝ ，则 CD＝atan30°，岂不简单．CDA你能求出 30°角的三个三角函数值吗？Ⅱ．讲授新课1．探索 30°、45°、60°角的三角函数值．[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°、60°、45°、45°．[师]sin30 °等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．[生]sin30 °＝ ．sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比21值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设 30°角所对的边为 a(如图所示)，根据“直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a．根据勾股定理，可知 30°角的邻边为 a，所以 sin30°＝ ．321[师]cos30°等于多少？tan30°呢？[生]cos30°＝ ．23atan30°＝ ．31[师]我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？[生]求 60°的三角函数值可以利用求 30°角三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是 60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得sin60°＝ ，23acos60°＝ ，1tan60°＝ ．3a[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦．可知sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°＝ ，23cos60°＝sin(90°－60°)＝sin30°＝ ．1[师生共析] 我们一同来求 45°角的三角函数值．含 45°角的直角三角形是等腰直角三角形．(如图) 设其中一条直角边为 a，则另一条直角边也为 a，斜边为 a．由此可求得2sin45°＝ ，21acos45°＝ ，tan45°＝ ＝1．a[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sinα cosα tanα30° 21345° 160° 233这个表格中的 30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据 30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小．为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列 30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？[生]30°、45 °、60°角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 1，， 随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．23[师]再来看第二列函数值，有何特点呢？[生]第二列是 30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小分别为 ， ，1，余弦值随角度的增大而减小．32[师]第三列呢？[生]第三列是 30°、45°、60°角的正切值，首先 45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以 tan45°＝1 比较特殊．[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对 30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定做得很棒．2．例题讲解(多媒体演示)[例 1]计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260 °－tan45°．分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin260°表示(sin60°)2，cos 260°表示 (cos60°)2．解：(1)sin30°＋cos45 °＝ ；21(2)sin260°＋cos 260°－tan45°＝( )2＋( )2－13＝ －14＝0．[例 2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到 0.01m)分析：引导学生根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．解：根据题意(如图) 可知，∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD ＝2.5m，∠ AOD＝ ×60°＝30°，∴OC ＝OD·cos30°＝2.5×21≈2.165(m) ．3∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m)．所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34m．Ⅲ．随堂练习多媒体演示1．计算：(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60 °；(3) sin45°＋sin60°－2cos45°．2解：(1)原式＝ －1＝ ；32(2)原式＝ ；2(3)原式＝ ；23＝ ．2312．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30°，高为 7m，扶梯的长度是多少？解：扶梯的长度为 ＝14(m)，21730sin所以扶梯的长度为 14m．Ⅳ．课堂小结本节课总结如下：(1)探索 30°、45°、60°角的三角函数值．sin30°＝ ，sin45 °＝ ，sin60°＝ ；21223cos30°＝ ，cos45 °＝ ，cos60°＝ ；31tan30°＝ ，tan45 °＝1，tan60 °＝ ．33(2)能进行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算．(3)能根据 30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．Ⅴ．课后作业习题 1．3 第 1、2 题Ⅵ．活动与探究(2003 年甘肃) 如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 AB＝CD ＝30m，两楼间的距离 AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况．当太阳光与水平线的夹角为 30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？(精确到 0.1m， ≈1.41，2≈1.73)3[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶 E 直射到乙楼 D 点，D 点向下便接受不到光线，过 D 作 DB⊥ AE(甲楼)．在 Rt△BDE 中，BD＝AC ＝24m，∠EDB ＝ 30°．可求出 BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF＝BE ．[结果]在 Rt△BDE 中，BE＝DB·tan30°＝24× ＝8 m．3∵DF＝ BE，∴DF＝ 8 ≈8×1.73＝13.84(m)．3甲楼的影子在乙楼上的高 CD＝30－13.84≈16.2(m)．板书设计§1．2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索 30°、45°、60°的三角函数值1．预备知识；含 30°的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半．含 45°的直角三角形是等腰直角三角形．2．30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：三角函数角 αsinα cosα tanα30° 21345° 160° 2313二、含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算．三、实际应用．。