高斯平面直角坐标与大地坐标转换.docx

高斯平面直角坐标系与大地坐标系1高斯投影坐标正算公式(1) 高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标(L,B),求该点在高斯投影平面上的直 角坐标G, y)，即(L,B)n (x, y)的坐标变换2) 投影变换必须满足的条件• 中央子午线投影后为直线；• 中央子午线投影后长度不变；• 投影具有正形性质，即正形投影条件3) 投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点 匕和P2,它们的大地坐标分别为(L, B)及 (l,B)，式中l为椭球面上p点的经度与中央子午线(L0)的经度差：l = L — L0, p点在 中央子午线之东，l为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P'(x,y)和P，(x,—y)1 2(4) 计算公式N . _一.. N . _ _,一 一… 1x = X + —— sin Bl 2 + —— sin B cos3 B(5 — 12 + 9q 2)l" 4\NN Ny = 一 cos Bl〃 + ——B(1 — 12 +平)l 〃 3 + coss B(5 — 18t2 +14 )l〃5p" 6 p”3 120p"5当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：, N Nx = X + sin Bl 2 + sin B cos3 B(5 一 12 + 9n 2 + 4门 4 )1 "4 +2 p〃2 24p〃4N sin B coss B(61 一 58t2 +14)l 6720p〃6y = N cos Bl"+ N cos3 B(1 — 12 +门 2)l〃3 +p 6p 3N coss B(5 — 18t2 +14 +14门 2 — 58n 2/2)l" 5720p〃52高斯投影坐标反算公式(1) 高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标G,y)，求该点在椭球面上的大 地坐标(L,B)，即(x, y)n (L,B)的坐标变换。

2) 投影变换必须满足的条件• x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；• x轴上的长度投影保持不变；• 投影具有正形性质，即正形投影条件3) 投影过程根据，计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度气，接着按气计算(气- B)及经差l，最后得到 B = Bf - ()、L = L0 +14) 计算公式B = B ———K——v 2 + ——K (5 + 3t 3 +门 2 — 9n 212) v 4 —f 2MN 24M N3 f f fft720M N5 (61 + 90tf + 45t4) v6f fl = v — (1 + 2t2 +门2) v 3 +N, cos B「6Nf cos Bf f f 1 (5 + 28t 2 + 24t 4 + 6门 2 + 8q 212) v 5f f当要求转换精度至0.01〃时，可简化为下式:B = B 一 \ V 2 + \ (5 + 3t 2 +门 2 — 9n 212)V 4f 2MfNf 24MfNf f f ffl = 1 V 一 1 (1 + 2t 2 +n 2)V 3 +Nf cos Bf 6Nf cos B^ f f 1 (5 + 28t 2 + 24t 4) v 5f f3高斯投影相邻带的坐标换算(1) 产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中 央子午线东、西两侧一定的范围内。

因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系在 工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用3带、1.5带或任意 带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带(或1.5带、任意带)之间 的相互坐标换算问题，如图所示：(2) 应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算• 计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标首先把某投影带(比如I带)内有关点的平面坐 标3,儿，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标(/, B)，进而得到L = L00+1 ； 然后再由大地坐标(B, 1)，利用投影正算公式换算成相邻带的(第II带)的平面坐标3,叫 在这一步计算时，要根据第II带的中央子午线L0I来计算经差1，亦即此时1 = L -L0I• 算例在中央子午线L0 =123的I带中，有某一点的平面直角坐标 气=5728374.726m， 七=+210198.193m，现要求计算该点在中央子午线外=129的第I带的平面直角坐标• 计算步骤① .根据气，*利用高斯反算公计算换算B1 , L1，得到B] = 5138,43.9024〃，L] = 12602'13.1362〃② .采用已求得的B1 ,匕，并顾及到第I带的中央子午线« =129。

求得1 = -257,46.864〃，利用高斯正算公式计算第I带的直角坐标七，*③ .为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算4子午线收敛角公式 (1)子午线收敛角的概念如图所示，p'、p'N' 及 p'Q'分别为椭球面p点、 过p点的子午线pN及平行圈pQ在高斯平面上的描 写由图可知，所谓点p'子午线收敛角就是pN，在p' 上的切线p'n'与p't，坐标北之间的夹角，用y表示在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于 投影具有正形性质，因此它们的描写线pN'及 p'Q，也 必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于p' Q' 在p'点上的切线p'q'同平面坐标系横轴y的倾角2)由大地坐标(L,B)计算平面子午线收敛角y公式y = sinB -1 + 3sinBcos2 B -13(1 + 3q 2 + 2q 4) + -5sin Bcos4 B -15(2 -12) H—(3) 由平面坐标3,y)计算平面子午线收敛角y的公式p y2y = -^― y tan 8 1- —— (l + n -r|2)N f 3N3 f ff I- / -上式计算精度可达1〃如果要达到0.001〃计算精度，可用下式计算:P P V 2 p V 5丫〃 =上一只 -H 7 t (1 + /2—rp)+ —t (2 + 5/2 +3/4)N f 3N3 f f f 15N5 f f f f f f(4) 实用公式• 已知大地坐标0,8)计算子午线收敛角yY ={1 +[(0.33333 + 0.00674 cos2 B) + (0.2cos2 8 — 0.0067)/2 ]/2 cos2 B}1 sin Bp"• 已知平面坐标(x, y)计算子午线收敛角Y ={1-[(0.33333 - 0.00225 cos4 B,) — (0.2 - 0.067 cos? )Z2]Z2}Zsin p〃。