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6 用配方法化二次型成标准型 第六节 用配方法化二次型成标准形 拉格朗日配方法的详细步骤 小结 第五章 相像矩阵及二次型 一、拉格朗日配方法的详细步骤 其特点是保持 用正交变换化二次型为标准形， 几何外形不变. 问题 有没有其它方法也可以把二次型化为标准形？ 问题的回答是确定的 下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日 配方法. 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 2 2 第五章 相像矩阵及二次型 拉格朗日配方法的步骤1.若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘 积项集中，然后配方， 再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换， 就得到标准形; 2.若二次型中不含有平方项， 但是aij 0 ( i j ),则先作可逆线性变换 x i yi y j x j yi y j k 1,2, , n且k i , j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，再按1中方法配方. 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 3 3 第五章 相像矩阵及二次型 例1 化二次型2 2 f x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3 为标准形，并求全部的变换矩阵. 解 含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x32 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 x1 x 2 x 3 2 去掉配方后多出来的项 2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 4 4 第五章 相像矩阵及二次型 x1 x2 x3 x22 4 x32 4 x2 x32 x1 x2 x3 x2 2 x3 .2 2 y1 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 令 y2 x 2 2 x 3 x 2 y2 2 y3 y x x y 3 3 3 3 x1 1 1 1 y1 x 2 0 1 2 y2 y x 0 0 1 3 3 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 5 5 第五章 相像矩阵及二次型2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 2 2 y1 y2 . 所用变换矩阵为 1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1 C 1 0 . 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 6 6 第五章 相像矩阵及二次型 例2 化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标准形，并求全部的变换矩阵. 解令 x1 y1 y2 x2 y1 y2 , x y 3 3 x1 1 1 0 即 1 1 0 x2 0 0 1 x3 y y y 1 2 3 代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,2 2 得 f 2 y1 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3 . 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 7 7 第五章 相像矩阵及二次型 再配方，得2 f 2 y1 y3 2 y2 2 y3 6 y3 . 2 2 z1 y1 y3 令 z 2 y2 2 y3 z y 3 3 y1 z1 z 3 y2 z 2 2z3 , y z 3 3得 即 y y y 1 1 0 1 z1 0 1 2 z2 2 0 0 1 z3 3 2 2 2 f 2z1 2z2 6z3 . 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 8 8 第五章 相像矩阵及二次型 所用变换矩阵为 1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 1 0 0 1 C 2 0 . 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 9 9 第五章 相像矩阵及二次型 二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法， 也可以用拉格朗日配方法， 或者其它方法，这取决于 问题的要求. 假如要求找出一个正交矩阵， 无疑应使 用正交变换法； 假如只需要找出一个可逆的线性变换， 那么各种方法都可以使用.正交变换法的好处是有固 定的步骤，可以按部就班一步一步地求解， 但计算量 通常较大； 假如二次型中变量个数较少， 使用拉格朗日 配方法反而比较简洁. 需要留意的是， 使用不同的方法， 所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数 必定相同， 项数等于所给二次型的秩. 2021, Henan Polytechnic University 6 用配方法化二次型成标准 1010 5Word版本。