
八省名校2021届高三下学期5月新高考冲刺大联考数学试题 Word版含答案.docx
21页秘密★启用前八省名校2021届高三下学期5月新高考冲刺大联考数学注意事项:1.本试题卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效.4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合,,则( )A. B. C. D.2.若,则( )A.2 B.-2 C. D.3.设为原点,直线与圆相交于,两点,当面积最大值时,( )A. B. C. D.4.在等差数列中,,,则( )A.165 B.160 C.155 D.1455.已知命题,命题,,若是成立的必要不充分条件,则区间为( )A. B.C. D.6.函数的图象的一部分如图所示,则函数表达式可写成( )A. B.C. D.7.平行四边形中,,,,,垂足为,是中点,则( )A. B. C. D.8.已知函数,若函数有三个极值点,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布,,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是( )附:若随机变量服从正态分布,则.A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D.若,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158710.如图,已知四棱锥中,平面,,,为中点,在上,,,则下列结论正确的是( )A.平面 B.与平面所成角为30C.四面体的体积为 D.平面平面11.已知,是双曲线上关于原点对称的两点,点是双曲线的右支上位于第一象限的动点,记,的斜率分别为,,且满足,则下列说法正确的是( )A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线方程为C.若的最小值为4,则双曲线方程为D.存在点,使得12.定义在上的函数满足,且时,,时,.令,,若函数的零点有8个,则的可能取值为( )A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数在上的单调递增区间是____________.14.,则______.15.如图,已知曲线,焦点,点在轴上运动,为上的动点,若的中点落在轴上,则______;斜率为的直线与的交点为,,与轴的交点为,若,则______.16.如图,二面角的平面角的大小为120,,,,,则四面体的外接球表面积为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列是等差数列,其前项和为,数列的前项和为,且,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.18.(12分)在中,,,分别是角,,的对边,且,,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,,求的面积.19.(12分)在空间直角坐标系中,以坐标原点为圆心,为半径的球体上任意一点,它到坐标原点的距离,可知以坐标原点为球心,为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示.记满足的不等式组,表示的几何体为.(Ⅰ)当表示的图形截所得的截面面积为时,求实数的值;(Ⅱ)请运用祖暅原理求证:记满足的不等式组,所表示的几何体,当时,与的体积相等,并求出体积的大小.(祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:所有等高处横截面积相等的两个同高立体,其体积也必然相等)20.(12分)当前,全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入,内防反弹”的关键时期,为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求,始终把师生生命安全和身体健康放在第一位.结合全国第32个爱国卫生月要求,学校某班组织开展了“战疫有我,爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动,抽取四位同学,分成甲、乙两组,每组两人,进行对战答题.规则如下:每次每位同学给出6道题目,其中有一道是送分题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数,原答题组的人再继续答题;若答对的题数之和不是3的倍数,就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立,无论答对几道题概率都一样,且每次答题顺序不作考虑,第一次由甲组开始答题.求:(Ⅰ)若第次由甲组答题的概率为,求;(Ⅱ)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少?21.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上一动点,当的面积最大时,其内切圆半径为,椭圆的左、右顶点分别为,,且.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过的直线与椭圆相交于点,(不与顶点重合),过右顶点分别作直线,与直线相交于,两点,以为直径的圆是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.22.(12分)(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)已知,求的根的个数;(Ⅲ)求证:若,则.数学答案详解123456789101112DDBDBDCCACDACDBCBC1.D 【解题思路】基础性考查落实,试题以集合为背景,考查集合的交集运算以及一元二次不等式、对数不等式的解法,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.由得,所以集合,由得,即,解得,所以集合,所以,故选D.2.D 【解题思路】基础性考查落实,试题以复数为背景,考查共轭复数、复数的模、复数的除法运算,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.∵,∴,故选D.3.B 【解题思路】基础性考查落实,试题以直线与圆的位置关系为背景,考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式,考查化归与转化思想和运算求解能力,考查直观想象、数学运算核心素养.设圆心到直线的距离为,则.由弦心距公式得,所以,当且仅当,即时,取最大值2,故选B.【一题多解】显然点是直线与圆的交点.设,则,当时,有最大值2,此时点是圆与轴的交点,易知,所以,故选B.4.D 【解题思路】基础性考查落实,试题以等差数列为背景,考查等差数列的通项公式、前项和公式,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.设等差数列的公差为,由题意得解得∴,故选D.5.B 【解题思路】基础性考查落实,试题以充分必要条件为载体,考查解不等式,考查推理论证能力,考查数学运算、逻辑推理核心素养.设,由题可知,关于的不等式的解集不是空集,即在上有解,则,解得或,故选B.6.D 【解题思路】基础性考查落实,试题以三角函数为背景,考查三角函数的图象和性质,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.由题图知,令,则,取,则.当时,,则,当时,,故选D.7.C 【解题思路】基础性考查落实,试题以平行四边形为背景,考查平面向量的线性运算与数量积,考查推理论证能力、运算求解能力,考查逻辑推理与数学运算核心素养.因为,,,所以,所以在中,,易得,于是.又,所以,故选C.【一题多解】解法一:因为,,,所以,所以,又,则易得,,,,于是,故选C.解法二:因为,,,所以,所以.又,则易得,,所以,故选C.8.C 【解题思路】综合性考查落实,试题以函数极值点为背景,考查利用导数研究函数的单调性,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想,考查数学运算、逻辑推理核心素养.由题意,,令,则或.令,则.当时,;当时,,,当从0的右侧趋向于0时,,当时,,所以且,故选C.9.ACD 【解题思路】基础性考查落实,试题以正态分布曲线为背景,考查正态分布曲线及参数的意义,考查推理论证能力、数据处理能力,考查逻辑推理、数据分析、数学运算核心素养.由题图可知,甲同学的图象关于直线对称,乙同学的图象关于直线对称,所以,,所以,故选项A正确,选项B错误;又甲同学的图象比乙同学的图象更“高瘦”,所以甲同学成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近,故选项C正确;当时,,故选项D正确,故选ACD.10.ACD 【解题思路】综合性考查落实,试题以四棱锥的线面位置关系为背景,考查线面平行的判定定理、直线与平面所成角、面面垂直的判定定理、锥体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力,考查数学运算、逻辑推理核心素养.∵,,∴.又,∴,∴.∵,,∴,即为中点.连接.∵为中点,∴.∵,,∴平面平面,所以平面,故选项A正确;在中,,,,则.∵平面,∴为直线与平面所成角,且,∴,故选项B错误;在中,,,∴.∵,平面,∴平面.∵,∴,故选项C正确;∵,,,∴平面,∴平面平面,故选项D正确.综上所述,故选ACD.11.BC 【解题思路】基础性考查落实,试题以双曲线为背景,考查双曲线的方程及几何性质、直线与双曲线的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数学运算、逻辑推理核心素养.设,,.因为,,都在双曲线上,所以,,两式相减得,即,所以,所以,即,故选项B正确;又,故选项A错误;因为的最小值为4,所以,,所以,所以双曲线的方程为,故选项C正确;因为,当且仅当时等号成立,所以,故选项D错误.综上,故选BC.12.BC 【解题思路】综合性考查落实,试题以函数零点为背景,考查函数的图象与性质、分段函数,考查运算求解能力与数形结合、化归与转化思想,考查数学抽象、逻辑推理核心索养.由题意,,当时,;当时,.∵,,且函数满足,即自变量每增加2个单位,函数图象纵坐标伸长为原来的2倍,分别画出当时,函数和的图象,如图所示,由图象可知,当函数与在上有8个交点时,,故选BC.13., 【解题思路】基础性考查落实,试题以三角函数为背景,考查三角恒等变换及正弦函数的性质,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.由题意,,由得,所以函数的单调递增区间为,所以在上的单调递增区间为,.14.-9 【解题思路】综合性考查落实,试题以二项式为背景,考查二项式展开式,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.由题可知,∴.15. 【解题思路】基础性考查落实,试题以抛物线为背景,考查直线与抛物线的位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力及数形结合思想,考查逻辑推理、数学运算核心素养.如图,延长至点,使,连接,,.因为为中点,易知四边形是平行四边形,且,所以四边形为菱形,所以.设直线:,,.联立消去得,由韦达定理得,.因为,所以将代入得,,将,代入抛物线的方程得,,所以.16. 【解题思路】综合性考查落实,试题以空间几何体生成外接球为背景,考查球的表面积,考查空间想象能力、运算求解能力,考查数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.如图,过和的外接圆圆心分别作两平面的垂线确定球心,设两外接圆半径分别为,,为的中点,连接,,则是二面角的平面角,,且点,,,共圆,是圆的直径,由已知条件得,,弦心距,,,弦心距,∴,.设四面体的外接球的半径为,则,.17.【解题思路】综合性考查落实,试题以数列为背景,考查等差、等比数列的通项公式与前项和、错位相减法求数列的前项和,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.(I)由,令,可求出,当时,,两式相减再结合等比数列的定义即可求出数列的通项公式.利用等差数列的通项公式及已知条件即可求出数列的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)求出,再利用错位相减法即可求解解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,。
