教师版：圆的方程.doc

1圆的方程专项复习（教师版）圆的方程专项复习（教师版）一、知识点归纳：一、知识点归纳：1.圆的标准方程圆的标准方程平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆圆定点是圆心，定长是半径如果圆心坐标为(a,b)，半径等于 r,根据两点间距离公式可得圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2如果圆心恰好为原点时，方程为 x2+y2=r2圆心在原点（0，0） ，半径为 1 的圆称为单位圆，其方程为 x2＋y2=1,由圆心坐标(a,b)及半径 r 的值，可以直接写出圆的标准方程由圆的标准方程也可直接读出圆心坐标和半径 r 的大小2.圆的一般式方程圆的一般式方程任何一个圆的方程都可以写成下面形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不一定表示圆方程一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，配方22 224()()224DEDEFxy（1）当 D2+E2-4F＞0 时，方程表示圆，称为圆的一般式方程，其圆心，半径.(,)22DE224 2DEF（2）当 D2+E2-4F=0 时，方程仅表示一个点；（3）当 D2+E2-4F＜0 时，方程没有实数解，方程不表示任何图形。

3.参数方程的概念参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数，即且对于 t 的每一个允许值，( ), ( )xf t yg t 由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，则此方程组就叫这条曲线的参数方参数方程，联系 x,y 之间关系的变数叫做参数参数相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程普通方程4.圆的参数方程：圆的参数方程：若圆心坐标为 C(a,b)，半径为 r，则称为圆的参数方程参数方程其中是以 x 轴正方向为始边方向，CPuu u r 方cos,sinxar ybr  向为终边方向的角C 是圆心，P 是圆上与对应的点特别地，以(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为)(sincos为参数 ryrx5.点与圆的位置关系点与圆的位置关系几何法几何法————利用距离来判断：利用距离来判断：设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r．（1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内; rd ; rd ; rd 代数法代数法————利用方程来判断：利用方程来判断：设点圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2（r>0）),,(00yxP（1）点 P 在圆外；（2）点 P 在圆上；22 02 0)()(rbyax;)()(22 02 0rbyax2（3）点 P 在圆内；22 02 0)()(rbyax6. 求圆的切线方法求圆的切线方法(1)已知圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是02)( 2)(00 00FyyExxDyyxx当在圆外时，表示过两个切点的切点弦方程．),(00yx0)2()2(00 00FyyExxDyyxx②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为 y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．③若已知切线斜率为 k，则设切线方程为 y=kx＋b，再利用相切条件求 b，这时必有两条切线．(2)已知圆 x2＋y2=r2．①若已知切点 P0(x0，y0)在圆上，则该圆过 P0点的切线方程为 x0x＋y0y=r2．②已知圆的切线的斜率为 k，圆的切线方程为.12krkxy7.几种特殊位置的圆的方程几种特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点： （2）圆心在 x 轴上：222(0)xyrr222()(0)xayrr（3）圆心在 y 轴上： （4）与 x 轴相切：222()(0)xybrr222()()(0)xaybb b（5）与 y 轴相切： （6）圆心在 x 轴上且过原点：222()()(0)xayba a222()(0)xaya a（7）圆心在 y 轴上且过原点：（8）过原点：222()(0)xybb b222222()()(0)xaybab ab（9）与两坐标轴都相切：222()()(|| || 0)xaybaab8.重要结论：重要结论：（1）已知：一个圆的直径端点是 A(x1，y1)、B(x2，y2)．则圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．（2）过圆外一点的圆的切线方程的求解方法：00(,)P x y设切线方程为，与圆的方程联立，根据即可求出 k 的值；也可以根据圆心到直线的距离等于00()yyk xx=0半径求出 k 的值。

特别要注意若解出一个 k，则还有一条斜率不存在的直线3）过圆上一点的切线方程是222xyr00(,)P x y2 00.x xy yr（4）过圆上一点的切线方程是222()()xaybr00(,)P x y2 00()()()().xa xayb ybr（5）过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）上一点的切线方程是00(,)P x y00 000.22xxyyx xy yDEF（6）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆 C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．9．几何性质：．几何性质：3（1）点 A,B 在圆上时，圆心在 AB 的垂直平分线上；（2）圆心与切点的连线与圆的该切线垂直；（3）圆心到切线的距离等于圆的半径； （4）圆的半径、半径长、弦心距构成直角三角形二、典型例题分析二、典型例题分析基础部分基础部分例例 1. 写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是 3；（2）圆心在点 C（3，4），半径是5.【【答案答案】】(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5； 例例 2．．求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0， （2）x2+y2+2by=0．【【答案答案】】(1)圆心为(4，-3)，半径为 5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为 b． 例例 3. 求下列各圆的一般方程：(1)过点 A(5，1)，圆心在点 C(8，-3)；（２）过三点 A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．【【答案答案】】(1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)x2+y2-4x-2y-20=0例例 4.已知圆的方程是 x2+y2=1，求：（１）斜率为 1 的切线方程；（２）在ｙ轴上截距是的切线方程。

2【【答案答案】】（１） （２）2;yx+ 2.yx 例５．例５．(1)已知两点 P1(4，9)和 P2(6，3)，求以 P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？【【答案答案】】(1)分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：解法一：设圆心 C(a，b)、半径 r，则由 C 为 P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点 P 性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：解法二：直径上的圆周角是直角，∴对于圆上任一点 P(x，y)，有 PP1⊥PP2．即 121.PPPPkk 931.46yy xx 化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10 为所求圆的方程．解(2)：分别计算点到圆心的距离：222222||(65)(96)10;||(35)(36)1310.||(55)(36)310.CMCNCQ因此，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内．例６．例６．求过三点 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解解：设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，由 O、A、B 在圆上，则有4解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为 x2+y2-8x+6=0．中中 等等 题题例１例１ 求经过点,且圆心 P 在直线上的圆的方程；(5,2), (3,2)AB230xy解析：解析：方法一：待定系数法方法一：待定系数法，设圆心,则有,00(,)P xy002222 0000230(5)(2)(3)(2)xyxyxy解得，∴圆心，半径, ∴所求圆的方程为0045xy (4,5)P||10rPA22(4)(5)10.xy方法二：数形结合方法二：数形结合，由垂径定理可知，圆心段的垂直平分线上即直线上00(,)P xy由得，∴圆心，半径0004230xxy 0045xy (4,5)P||10rPA∴所求圆的方程为22(4)(5)10.xy例２例２. . 求经过原点，且过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 和直线 x-y+5=0 的两个交点的圆的方程．解法一：解法一：由求得交点（－２，３）或（－４，１）设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0．2286210, 50xyxy xy∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，所求圆的方程为：221990.55xyxy解法二：解法二：设过交点的圆系方程为：x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．将原点（０，０）代入上述方程可得则所求方程为：21=-.5221990.55xyxy例３．（例３．（0909 年黑龙江双鸭山模拟）年黑龙江双鸭山模拟）求圆心在直线 l：x+y=0 上，且过两圆 C1∶x2+y2-2x+10y-24=0 和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的方程．解法一：解法一：解方程组得两圆交点为（－４，０），（０，２）2222210240,2280xyxyxyxy设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线 l 上所以得方程组为解得： 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．222222( 4)(2), 0abrabr ab    3,3,10.abr 解法二：解法二：设圆的方程为 x2+y2-2x+10y-24+（x2+y2+2x+2y-8）=05即()()()()22212 58301111xyxy 圆心2, 015 11),15,11(   解得提提 高高 题题例１．例１．求以圆 C1：x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2：x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆的方程。

解：解：两圆方程相减得两圆公共弦所在直线的方程 4x+3y-2=0，过两圆交点的圆系方程可设为 x2+y2-12x-2y-13+( x2+y2+12x+16y-25)=0，即(1+)x2+(1+)y2-12(1-)x-2(1-8)y-13-25=0，配方得圆心坐标，公共弦是直径，则圆心在公共弦上，∴4·+3·-2=0，∴6(1) 18(,)11  6(1) 1  18 1  1=.2∴以公共弦为直径的圆的方程为 x2+y2-4x+4y-17=0评注评注 两相交圆的公共弦所在直线方程，可以将两个圆方程作差，消去 x,y。